Установившийся синусоидальный ток в цепи с последовательным соединением участков r, L и C

Дифференциальное уравнение для цепи с последовательно соединенными участками r, L и C(рис. 1.6) имеет вид

                                  (1.13)

Рис. 1.6. Цепь с последовательно соединенными участками r, L и C

Общее решение i(t) этого уравнения, как всякого линейного дифференциального уравнения, складывается из частного решения i'(t), определяемого видом функции u(t), и полного интеграла i"(t) однородного дифференциального уравнения, получаемого, если принять u(t) = 0.

После включения цепи под действие напряжения u(t) составляющая тока i"(t) быстро затухает, уменьшаясь до нуля практически за доли секунды или за несколько секунд. Действительно, при u= 0, r≠ 0 процесс в цепи может существовать только за счет запасов энергии в полях цепи и будет затухать вследствие рассеяния энергии на участке с сопротивлением r.

Таким образом, спустя небольшой промежуток времени после включения в цепи устанавливается ток i(t), определяемый частным решением i'(t) уравнения цепи. Величина i'(t) является током установившегося режима в цепи.

Пусть приложенное к цепи напряжение изменяется по синусоидальному закону (1.2). При этом ток установившегося режима также будет синусоидальным с той же частотой ω и, следовательно, может быть выражен в виде  Задача заключается в отыскании величин  и φ при заданных величинах , ω и .

Как было сказано раньше, при исследовании установившегося синусоидального процесса начальная фаза  приложенного напряжения может быть выбрана произвольно. Так как в данном случае общим для всех участков является ток, то целесообразно выбрать , чтобы начальная фаза тока была равна нулю, т.е.

Тогда  и

Подставляя эти значения i и uв уравнение

найдем:

Так как все члены, кроме двух последних в левой части уравнения, не содержат постоянных составляющих, то

Это уравнение должно быть справедливо для любого момента времени t. Полагая, в частности,  и  получаем

Возведя первое и второе равенства в квадрат и сложив, будем иметь

откуда находим связь между амплитудами тока и напряжения:

                                                      (1.14)

Поделив обе части этого выражения на , получим аналогичную связь между действующими током и напряжением:

                                                      (1.15)

Корень следует брать всегда со знаком «плюс», так как амплитуды и действующие значения напряжения и тока считаем положительными величинами.

Поделив второе равенство на первое, находим

В выражениях, связывающих амплитуды  и  или действующие значения Uи напряжения и тока, в знаменателе стоит величина, имеющая размерность электрического сопротивления. Ее обозначают через z и называют полным сопротивлением цепи. Для рассмотренной цепи

                                            (1.16)

В общем случае в цепи переменного тока полное сопротивление z больше со­противления r и может быть ему равно только в частном случае. Причина этого состоит в том, что в рассматриваемой цепи приложенное напряжение имеет не только составляющую ir, но также составляющую , преодолевающую ЭДС самоиндукции, и составляющую q/C, равную напряжению на конденсаторе.

Сопротивление r называют активным сопротивлением цепи, так как только им определяются необратимые активные процессы в цепи, в данном случае преобразование электромагнитной энергии в тепловую. Величину , учитывающую реакцию самоиндукции и емкости и имеющую размерность сопротивления, называют реактивным сопротивлением цепи и обозначают x. При этом член ωL, учитывающий реакцию самоиндукции, называют индуктивным сопротивлением цепи и обозначают xL, а член , учитывающий реакцию емкости, называют емкостным сопротивлением цепи и обозначают xC.

Итак, имеем:

                                          (1.20)

Возрастание xL (1.17) при увеличении частоты объясняется тем, что ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения тока, и следовательно, ее амплитуда растет с увеличением частоты при неизменной амплитуде тока.

Убывание величины xС(1.18) при увеличении частоты является результатом того, что ток смещения в конденсаторе пропорционален скорости изменения напряжения на зажимах конденсатора и, следовательно, его амплитуда растет с увеличением частоты при неизменной амплитуде напряжения.

Структура выражения для z (1.20) может быть уяснена, если рассмотреть сдвиги фаз напряжений на отдельных участках цепи по отношению к току. C целью наглядности построим векторную диаграмму для рассматриваемой цепи. Здесь и в последующем диаграмму будем строить для действующих величин. Для краткости векторы, изображающие ток, напряжение и ЭДС, будем называть просто вектором тока, вектором напряжения и вектором ЭДС.

Направим вектор тока  по вертикальной оси (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Векторная диаграмма для цепи с последовательно
соединенными участками r, L и C

Напряжение на участке с сопротивлением r

совпадает по фазе с током, и поэтому вектор этого напряжения  направлен вдоль вектора тока.

Напряжение на участке с индуктивностью L:

опережает ток на угол , и вектор этого напряжения  должен быть повернут относительно вектора тока на угол   в положительном направлении.

Напряжение на участке с емкостью С:

отстает от тока на угол , и вектор этого напряжения  должен быть повернут относительно вектора тока на угол  в отрицательном направлении.

Складывая геометрически векторы напряжений на участках цепи  и  получаем вектор напряжения  на зажимах всей цепи, который сдвинут по отношению к вектору тока  на угол φ. То обстоятельство, что величины  и  входят в выражение для реактивного сопротивления с разными знаками, объясняется тем, что напряжения uLи uCсдвинуты друг относительно друга на угол  и, следовательно, в любой момент времени противоположны друг другу, что, в частности, видно из векторной диаграммы.

Напряжения urи (uL + uC) сдвинуты друг относительно друга на угол . Поэтому полное сопротивление цепи z нельзя определять путем арифметического сложения r и x, а следует вычислять по формуле .

Необходимо обратить особое внимание на следующие важные моменты:

- на участке с активным сопротивлением ток совпадает по фазе с напряжением на этом участке;

- в индуктивной катушке ток отстает по фазе на угол  от напряжения на катушке;

- в конденсаторе ток опережает по фазе на угол напряжение на зажимах конденсатора.

Рассмотрим сдвиг фаз φ между током и напряжением на зажимах всей цепи. Ток совпадает по фазе с приложенным напряжением только при х = 0, т.е. или при отсутствии в цепи реактивных сопротивлений, или при их взаимной компенсации. Действительно, из векторной диаграммы
(рис. 1.8.) видно, что при  сумма векторов  и  будет равна нулю и вектор  приложенного напряжения совпадет по направлению с вектором  тока, т. е. угол φ будет равен нулю. Кривые тока и напряжения для этого случая изображены так­же на рис. 1.8. Если , то х > 0,  и ток отстает по фазе от напряжения на зажимах цепи. Этот случай изображен на рис. 1.9.

Рис. 1.8. Векторная диаграмма для случая

Если же , то х < 0,  и ток опережает по фазе напряжение на зажимах цепи. Этот случай изображен на рис. 1.10.

Рис. 1.9. Векторная диаграмма для случая

Рис. 1.10. Векторная диаграмма для случая

Таким образом, пределами, между которыми лежит φ, являются  и .