Установившийся синусоидальный ток в цепи с параллельным соединением участков g, L, C

Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 1.11, состоящую из трех параллельно соединенных участков; причем предположим, что первый участок обладает только проводимостью g, второй –только емкостью С и третий – только индуктивностью L.

Применяя первый закон Кирхгофа, имеем

Рис. 1.11. Цепь, состоящая из трех параллельно соединенных участков g, L, C

Токи в ветвях можно выразить через приложенное напряжение. Ток в первой ветви , где  - проводимость первого участка. Ток во второй ветви:

Ток в третьей ветви: .

Но так как , то  и, следовательно, , где .

Таким образом, дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи имеет вид:

Пусть к цепи приложено синусоидальное напряжение . При этом ток i также будет синусоидальным и может быть представлен в виде . В данном случае целесообразно принять начальную фазу приложенного напряжения равной нулю , так как напряжение является общим для всех ветвей.

Подставив эти выражения в уравнение цепи, получим

Так как все члены, кроме двух последних в левой части уравнения, не содержат постоянных составляющих, то .

Уравнение цепи справедливо для любого момента времени t. Полагая   и , находим:

Возведя первое и второе равенства в квадрат и сложив, получим

                                                  (1.21)

Поделив обе части этого выражения на , получим связь между действующими током и напряжением:

                                               (1.22)

Поделив второе равенство на первое, найдем

Величину

                                                  (1.23)

называют полной проводимостью цепи. Проводимость  называют активной проводимостью. Величину , имеющую также размерность проводимости, называют реактивной проводимостью цепи и обозначают b. При этом член  называют индуктивной проводимостью и обозначают bL, а член ωCназывают емкостной проводимостью и обозначают bС. Имеем:

                                                    (1.24)

                                                            (1.25)

На рис. 1.12 изображена векторная диаграмма для этой цепи для случая .

Рис. 1.12. Векторная диаграмма цепи, состоящая из трех параллельно
соединенных участков g, L, Cдля случая

Ток в первом участке совпадает по фазе с напряжением, ток в конденсаторе опережает по фазе на угол  напряжение, а ток в катушке отстает по фазе на угол  от напряжения. То обстоятельство, что b(1.24) образуется как разность bL и bС, объясняется тем, что токи в конденсаторе и в катушке сдвинуты друг относительно друга на угол , т.е. в любой момент времени направлены по отношению к общим зажимам второй и третьей ветвей в противоположные стороны. Эти токи сдвинуты относительно тока в первой ветви на угол , вследствие чего полная проводимость определяется не арифметическим сложением  и b, а формулой (1.25).

При  ток через катушку больше тока через конденсатор (рис. 1.12) и общий ток i отстает по фазе на угол φ от напряжения, причем . При  ток через конденсатор больше тока через катушку и общий ток i опережает по фазе напряжение, причем:

.