Трансформаторы с линейными характеристиками

Одним из важнейших элементов электрических цепей, в котором специально используются свойства магнитно-связанных контуров, является статическое устройство для преобразования значений тока и напряжения, называемое трансформатором. В простейшем случае трансформатор состоит из двух электрически не соединенных и неподвижных друг относительно друга катушек, называемых обмотками трансформатора, связанных между собой потоком взаимной индукции. Если обмотки трансформатора намотаны на ферромагнитный сердечник, то свойства такого трансформатора будут нелинейными. Будем предполагать, что ферромагнитные сердечники отсутствуют. Условно назовем такой трансформатор линейным, так как процессы в нем описываются линейными уравнениями, т.е. он обладает линейными характеристиками.

Пусть к зажимам одной обмотки трансформатора, которую назовем первичной, приложена ЭДС е1, а к зажимам другой обмотки, вторичной, присоединен приемник (рис. 2.29).

Рис. 2.29. Схема трансформатора

Как и прежде, будем считать, что коэффициент взаимной индукции М задан по величине и знаку для приведенной на рис. 2.29 системы точек. Обозначим активные сопротивления обмоток r1 и r2, а их индуктивности L1 и L2.

По второму закону Кирхгофа имеем:

 

Если напряжение u1синусоидально, то при установившемся режиме синусоидальными функциями времени будут также  и u2, и уравнения трансформатора можно записать в комплексной форме:

                                                   (2.46)

                                               (2.47)

Если известны  параметры трансформатора и приемника  то, решая эту систему, можно найти токи  и напряжение  Можно также по заданным значениям  и , и параметрам трансформатора найти  и .

При известном  и заданном  найдем ток . Приняв

    

имеем

 

откуда

и, следовательно

                             (2.48)

Величина Zвх = r + jx представляет собой комплексное входное (эквивалентное) сопротивление всей цепи, состоящей из трансформатора и приемника. Из его выражения следует, что при  эквивалентное активное сопротивление rбольше r1. Увеличение эквивалентного активного сопротивления связано с тем обстоятельством, что необратимые преобразования энергии во вторичном контуре происходят за счет энергии, передаваемой от первого контура, где имеется источник энергии, во второй контур, где нет такого источника. Поскольку для заданного значения тока активная мощность, определяющая необратимые преобразования энергии, прямо пропорциональна активному сопротивлению, то поглощение энергии во втором контуре приводит к увеличению эквивалентного активного сопротивления всей цепи.

Эквивалентное реактивное сопротивление х может быть больше x1, если xII< 0, и меньше х1 если xII> 0. ЭДС взаимной индукции во вторичном контуре отстает по фазе от потока взаимной индукции, а следовательно, при M> 0 и от тока на угол . При индуктивном характере цепи второго контура (xII>0) ток  в предельном случае будет отставать от этой ЭДС на угол  и, следовательно, окажется в противофазе с током . Это означает, что магнитный поток, обусловленный током , направлен против магнитного потока, обусловленного током , что приводит к уменьшению магнитного потока в первом контуре, и это эквивалентно уменьшению реактивного сопротивления первого контура.

Другая картина наблюдается, если xII< 0. При этом ток во вторичной обмотке имеет емкостный характер и в предельном случае может опережать ЭДС взаимной индукции на угол , т.е. совпадать по фазе с током . При этом магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции будут также совпадающими, что равносильно увеличению эквивалентного реактивного сопротивления.

Полагая

 

имеем

 

причем  и : называют, соответственно, вносимыми активным и реактивным сопротивлениями.

Представим уравнения трансформатора в виде

Схема цепи, для которой данная система уравнений справедлива, показана на рис. 2.30.

Рис. 2.30. Эквивалентная электрическая цепь трансформатора

Поскольку в этой цепи токи  и напряжения  равны таковым в трансформаторе, эта схема является эквивалентной схемой трансформатора. Если М лежит между L2 и L1, то или L1–М, или L2–М будет отрицательно. Это обстоятельство представляет интерес, так как при некоторых задачах, связанных с синтезом электрических цепей, возникает необходимость реализации отрицательной индуктивности в сочетании с положительными индуктивностями, соединенными, как показано на схеме (рис. 2.30).

Метод замены действительной электрической цепи, в которой отдельные контуры связаны друг с другом через взаимную индуктивность, эквивалентной ей электрической цепью, в которой все контуры электрически связаны друг с другом, а взаимная индуктивность между контурами учтена в параметрах отдельных цепей (например, рис. 2.30), находит применение в практике расчета цепей.

Степень магнитной связи контуров характеризуется величиной  которая носит название коэффициента связи. Во всех реальных случаях k меньше единицы.

Пусть активное сопротивление вторичного контура равно нулю и этот контур замкнут накоротко, т.е. r2 = 0 и Zпр = 0. При этом

   

и

Величина Lэ должна быть положительной, так как энергия магнитного поля  положительна. Следовательно, только в предельном случае, когда первичный и вторичный контуры расположены столь близко, что поток взаимной индукции и поток самоиндукции в первичной цепи взаимно компенсируются, величина k приближается к единице.

Рассмотрим некоторые особенные свойства трансформаторов в предельных идеализированных случаях.

Предположим, что

  и 

При этом уравнения трансформатора запишутся в виде

Выразим и  через  и . Получим:

Можно заметить, что при k = 1  М – L1L2/M = 0 (М = L1L2/M), и тогда, обозначая с = L1/M, получим:

                                                              (2.49)

                                            (2.50)

Трансформатор, для которого соблюдается условие  при любой нагрузке, называют совершенным трансформатором.