Топологические методы расчета цепей

Представляет большой интерес возможность составления элементов обратной матрицы и ее определителя непосредственно по графу схемы, минуя стадию составления системы уравнений. В качестве примера такого подхода рассмотрим метод узловых напряжений.

Для матрицы узловых проводимостей имеем выражение , где А - топологическая матрица соединений порядка (q-1)×n; At – транспонированная матрица соединений порядка n×(q -1); Y- диагональная матрица проводимостей ветвей (в цепи отсутствуют взаимная индукция и зависимые источники) порядка n×n.

Согласно теореме Коши-Бине, определитель такой матрицы может быть представлен как det(AYAt) = det(AY)At= Σсоответствующих миноров максимального порядка матриц АY и At.

Соответствие миноров означает совпадение номеров столбцов в матрице АY с номерами строк матрицы At. В матрицах АYи А из-за диагональности матрицы Yодинаково расположены ненулевые элементы (если  то ).

Максимальный порядок миноров равен (q-1)×(q-1). Примем во внимание, что транспонированный минор равен исходному минору. Ненулевой минор порядка (q-1)×(q-1) матрицы А равен . Следовательно, произведение соответствующих миноров имеет всегда положительный знак. Кроме того, минор А не равен нулю только в том случае, если входящие в его состав ветви (q-1) соединяют все q узлов графа схемы. Это положение можно увидеть процедуры разложения минора по элементам строк или столбцов. При исключении соответствующей ветви и узла оставшийся минор не должен иметь строку (или столбец), состоящую только из нулевых элементов. Это же положение легко увидеть из рассмотрения максимальна минора [порядка (q-1)×(q-1)] матрицы АYв результате раскрытия минора мы должны иметь произведение вида  где должны быть q-1 элементов. Причем эти элементы должны состоять из проводимостей ветвей, которые соединят все узлы графа схемы. Но такая совокупность ветвей есть дерево графа схемы. Поэтому можем написать det(AYAt)=ΣΠпроводимостей ветвей графа схемы =ΣΠYkветвей дерева графа схемы, где суммирование выполняется по всем неповторяющимся деревьям графа схемы.

Для графа схемы (рис. 2.34 а), деревья которого показаны на рис. 2.34 б

det(AYAt) = Y1Yз+ Y2Yз+ Y1Y2.

Рис. 2.34. Граф и деревья графа схемы. Граф схемы (а); деревья графа схемы (б)

Для графа схемы (рис. 2.35 а), деревья которого показаны на рис. 2.35 б det(AYAt) = Y4Y5Y6+ +Y1YЗY6+ Y1Y2Y4+ Y2Y3Y5+ Y1Y5Y6+ Y2Y5Y6+ YЗY4Y6+ Y1Y4Y5+ Y2Y4Y6+ Y3Y4Y5+ +Y1Y2Y5+ Y1YЗY4+ Y2YЗY6+ Y1Y2Y6+ Y1Y3Y5+ Y2Y3Y4.

Рис. 2.35. Граф схемы (а); деревья графа схемы (б)

Для получения алгебраического дополнения порядка исходя из теоремы Коши-Бине, мы должны из матрицы АYисключить j-ю строку, а из матрицы At - j-й столбец. Это равносильно присоединению узла j к базисному узлу. Тогда получаем новый граф схемы, где объединены j-й и базисный узлы прежнего графа схемы. Например, определитель  графа схемы (рис. 2.35 а) можно вычис­лить из условия, что он равен определителю нового графа схемы (рис. 2.36 а), деревья которого изображены на рис. 2.36 б:

На рис.2.36 в и г, представлены графы и деревья схемы для :

Рис. 2.36. Граф схемы и деревья графа схемы. Граф схемы (а);
деревья графа схемы (б); граф для  (в); деревья схемы для  (г)

Алгебраические дополнения вида  могут быть определены из той же формулы Коши- Бине, если вычеркнуть в матрице АYстроку jи в матрице At столбец k. Очевидно, что миноры АYсовпадут с минорами , а миноры At с минорами . Поскольку следует суммировать произведения соответствующих миноров, то это означает, что из выражений для  и  должны быть взяты совпадающие члены. Например, для  таковыми являются

Условие совпадения миноров и то обстоятельство, что узлы jи k вычеркнуты из соответствующих матриц, можно представить в виде разделения графа цепи на два несвязанных подграфа со своими деревьями, сумма произведений прово­димостей ветвей которых определит . При этом следует учесть, что узлы jи k мысленно уже соединены с опорным узлом, и поэтому узлы jи k, с одной стороны, и опорный узел - с другой, должны быть в разных подграфах. Деревья этих подграфов называют двойным деревом графа схемы (2-дерево). На рис. 2.37 изображено 2-дерево для определителя .

Рис. 2.37. Двойное дерево графа схемы для определителя

Минор подграфа, состоящего из отдельного узла (узел 4, он же опорный), равен единице. Имея в виду это обстоятельство, из рис. 2.37 получим

Использование топологических методов связано с трудоемким процессом отыскания всех ветвей графа схемы. Эта задача относительно упрощается, если заранее известно общее число деревьев.

Из выражения для определителя вытекает, что если проводимости всех ветвей единичны, то  равно числу деревьев графа цепи, т. е. если Y= 1, то det(AYAt) = det(AAt).

Если все узлы соединены попарно между собой, то общее число деревьев по этому выражению равно qq-2. В рассмотренном выше графе (рис.2.35 а) мы имели случай, когда все узлы попарно соединены и q = 4. Число деревьев графа цепи было равно 44-2 = 42 = 16. Если в графе отсутствуют некоторые ветви, то число деревьев соответственно уменьшается. Для графасм. (рис. 2.35 а) отсутствие ветви 1 приведет к сокращению числа деревьев до 8.

Для графа схемы (рис. 2.38), у которого непосредственно не связаны только две пары узлов, а именно 1, 3 и 2,4, число деревьев равно

 

что существенно меньше максимального числа деревьев, равного 55-2 = 125. Именно необходимость отыскания большого числа различных деревьев является серьезным недостатком топологического метода расчета цепей, основные понятия и формулы которого были предложены Кирхгофом еще в 1847 г. и Максвеллом в 1892 г.

 

Рис.2.38. Граф схемы, у которого непосредственно не связаны две пары узлов