Резонанс в индуктивно связанных контурах

Определим резонансные частоты и частотные характеристики в цепи, изображенной на рис. 3.23.

В радиотехнике и в технике связи часто используют явление резонанса в индуктивно связанных колебательных контурах с большой добротностью. В связи с этим для упрощения расчета пренебрежем активным сопротивлением вторичного контура.

Рис. 3.23. Индуктивно–связанные контуры

Собственные частоты контуров, при которых в них наступает резонанс, в случае отсутствия взаимной индукции равны:

  и 

Имеем уравнения рассматриваемой цепи

Выражая  из второго уравнения через  и подставляя в первое уравнение, получаем

.

Условием резонанса напряжений будет равенство нулю эквивалентного реактивного сопротивления, т.е. x= 0, откуда

Разделив на (ωL1ωL2) обе части этого выражения, получим

где  есть квадрат коэффициента связи, причем k2< 1.

Решая это уравнение относительно ω, найдем частоты  и , отвечающие резонансу напряжений, из выражения

где ωрез равна либо , либо .

Если оба контура предварительно были настроены на одну частоту ω1 = ω2 = ω0, то частоты  и  находятся из выражения , т.е. они оказываются равными

                                                               (3.23)

                                                               (3.24)

причем

При частотах  и  сопротивление цепи оказывается минимальным и равным r1, а ток I1достигает максимальных значений: I1= U1/r1.

При ω = ω0 имеем х=  и ток I1=0. Это можно пояснить следующим образом: при частоте ω0 имеет место резонанс во вторичном контуре х2= ωL2 – 1/( ωC2)=0, и при условии r2 = 0 получается z2 = 0. Как видно из уравнения для второго контура, при конечном значении тока  ЭДС взаимной индукции  должна быть равна нулю, т.е. I1=0. Ток  устанавливается таким, чтобы ЭДС взаимной индукции  со стороны второго контура урав­новесила приложенное к первому контуру напряжение, что видно из первого уравнения при I1 = 0. Этот случай по своему характеру аналогичен резонансу токов в контуре без потерь.

На рис. 3.24 представлена частотная характеристика I1(ω) при U1 = const, а также частотная характеристика x(ω).

Рис. 3.24. Частотные характеристики: I1(ω) при U1 = const и x(ω)

Полюсами функции x(ω) являются частоты ω = 0, ω = ω0 и ω = . Ее нулями являются частоты ω =и ω =. В соответствии со сказанным в предыдущем разделе во всем диапазоне частот
соблюдается условие dx/dω > 0 и полюсы и нули чередуются. Штриховыми линиями показаны частотные характеристики при r2 ≠ 0.

Таким образом, резонансная кривая I1 = F1(ω) цепи, состоящей из двух связанных контуров с малым затуханием, имеет два максимума и один минимум.