Резонанс при последовательном соединении участков r, L, C

Комплексное сопротивление цепи, состоящей из последовательно соединенных участков r, L и C(рис. 3.1), определяется как

Рис. 3.1. Векторная диаграмма в случае резонанса при последовательном
соединении участков r, L, C

Резонанс имеет место, если φ = 0, что равносильно при последовательном соединении условию , т.е.  или . Резонанса можно достичь, изменяя или частоту приложенного к цепи напряжения, или индуктивность катушки, или емкость конден-сатора. При этом значения угловой частоты, индуктивности и емкости, при которых наступает резонанс, определяются формулами

Частоту  (3.5) называют резонансной частотой. Если напряжение Uна зажимах цепи и активное сопротивление r цепи не изменяются, то ток в рассматриваемой цепи при резонансе имеет наибольшее значение, равное U/r, не зависящее от значений реактивных сопротивлений. Векторная диаграмма в случае резонанса приведена на рис. 3.1. Если реактивные сопротивления xL = хС при резонансе превосходят по значению активное сопротивление r, то напряжения на зажимах реактивной катушки и конденсатора могут превосходить, и иногда весьма значительно, напряжение на зажимах цепи. Поэтому резонанс при последовательном соединении называют резонансом напряжений. Превышение напряжения на реактивных элементах цепи над напряжением на зажимах цепи имеет место при условии

Величина  имеющая размерность сопротивления и обозначенная через , носит название волнового сопротивления контура.

Отношение

                                         (3.9)

определяет кратность превышения напряжения на зажимах индуктивного и емкостного сопротивлений над напряжением на зажимах всей цепи. Величину Q, определяющую резонансные свойства контура, называют добротностью контура. Принято также резонансные свойства характеризовать величиной 1/Q, носящей название затухание контура.

Мгновенная мощность на зажимах катушки и конденсатора:  и . При резонансе, когда UL=UС, эти мощности в любой момент времени равны и противоположны по знаку. Это значит, что происходит обмен энергией между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора, причем обмен энергией между полями цепи и источником, питающим цепь, не происходит, так как  и
WM + WЭ = const, т.е. суммарная энергия полей в цепи остается постоянной. Энергия переходит из конденсатора в катушку в течение четверти периода, когда напряжение на конденсаторе по абсолютному значению убывает, а ток по абсолютному значению возрастает. В течение следующей четверти периода, когда напряжение на конденсаторе по абсолютному значению растет, а ток по абсолютному значению убывает, энергия переходит обратно из катушки в конденсатор. Источник энергии, питающий цепь, только покрывает расход энергии на участке с сопротивлением r.

Пример 3.1. Для последовательного контура с напряжением питания U=2 мВ, сопротивлением r= 20 Ом и индуктивностью L= 10 мГн найти значение резонансной емкости и добротность при частоте  рад/с и определить ток в режиме резонанса и при уменьшении частоты напряжения источника питания на 5%.

Решение:

Резонансное значение емкости

 Ф.

Добротность

.

Ток при резонансе

А=0,1мА.

Новое значение частоты

 рад/с.

Сопротивления

 Ом;

 Ом;

 Ом.

Действующее значение тока

А=0,02мА.

Действующий ток уменьшился по сравнению с резонансным значением примерно в пять раз.