Расчет цепи при наличии взаимной индукции

Правило составления дифференциальных уравнений цепи при наличии взаимной индукции кладется в основу для расчета цепей с взаимной индукцией при протекании синусоидальных токов. Применив комплексный метод, алгебраизируем эти уравнения.

Правило, определяющее знак ЭДС взаимной индукции или падения напряжения, компенсирующего эту ЭДС, заключается в следующем: точки, поставленные на одном из зажимов каждой катушки, означают что положительное направление тока впервой катушке принято от точки, то положительное направление ЭДС взаимной индукции, возникающей в другой катушке, также должно быть принято от точки. Будем считать, что для данной системы точек, отмеченных на зажимах всех индуктивно-связанных катушек, известны коэффициенты взаимной индукции по величине и знаку.

Для расчета цепей, содержащих индуктивно-связанные ветви, непосредственно применимы все изложенные ранее методы, за исключением метода узловых напряжений и формул преобразования соединения треугольника в эквивалентное соединение звездой и обратно. Применение этих последних требует введения некоторых дополнительных правил.

Рассчитаем цепь, изображенную на рис. 2.27.

Рис. 2.27. Схема цепи, содержащей индуктивно-связанные ветви

Катушки L1 и L2 индуктивно связаны, причем для данной системы точек задан коэффициент взаимной индукции M12 = М21 = М.

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, обход которого производим по часовой стрелке. Пусть положительные направления тока и обхода контура совпадают. В контур входят пять ЭДС: ЭДС  внешнего источника, ЭДС самоиндукции  и  и ЭДС взаимной индукции  и  Положительные направ­ления ЭДС самоиндукции совпадают с положительным направлением тока в цепи.

Так как положительное направление тока в обеих катушках взято от точки, то в обеих катушках положительное направление ЭДС взаимной индукции  и также будет от точек. Поэтому все ЭДС войдут в уравнение с одинаковым положительным знаком:

Все сказанное можно относить к падениям напряжения, для которых имеем:  и , и, следовательно

или

откуда

Величина  представляет собой эквивалентную индуктивность всей цепи.

Эквивалентная индуктивность всегда положительна, что вытекает из равенства , так как энергия магнитного поля всей цепи всегда положительна.

Эквивалентная индуктивность зависит от знака взаимной индуктивности.

В зависимости от знака М различают два способа включения катушек: согласное включение, когда М > 0 (М = IMI), и встречное включение, когда М < 0 (М = –IMI). При согласном включении магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции совпадают по направлению, что приводит к увеличению эквивалентной индуктивности всей цепи:  При встречном включении магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции направлены встречно, что приводит к уменьшению эквивалентной индуктивности всей цепи:

Определив измерением эквивалентные индуктивности  и  при согласном и встречном включениях катушек, можно вычислить абсолютное значение их взаимной индуктивности из соотношения

 или

Переход от согласного включения к встречному при этом следует выполнить пересоединением концов обмотки одной из катушек, не изменяя взаимного расположения катушек. Знак коэффициента взаимной индукции положителен, когда эквивалентная индуктивность имеет большее значение.

В качестве примера расчета более сложной цепи рассмотрим составление уравнений по законам Кирхгофа и по методу контурных токов для цепи, изображенной на рис. 2.28, при наличии взаимной индукции между индуктивными катушками L3, L4 и L5.

Рис. 2.28. Схема цепи с индуктивно связанными катушками L3, L4 и L5

Положительные направления токов в ветвях показаны стрелками. В индуктивно-связанных катушках положительные направления токов принимаются от зажима катушки, обозначенного точкой.

По законам Кирхгофа имеем: для узлов

    

для контуров

Величины М34 = М43, М53 = М35 и М45 = М54 заданы с их знаками для системы точек, которые указаны на катушках L3, L4 и L5. В индуктивных катушках L3, L4 и L5, где имеет место явление взаимной индукции, все токи направлены от точек, поэтому направления ЭДС самоиндукции и взаимной индукции совпадают, а сле­довательно, совпадают и направления соответствующих этим ЭДС падений напряжений. Поэтому знаки в членах  и  в последнем уравнении одинаковы.

По методу контурных токов в общем виде уравнения записываются в обычной форме, как и при отсутствии взаимной индукции:

но в выражения для собственных и общих сопротивлений контуров войдут добавочные члены, учитывающие явление взаимной индукции. В данном частном случае контурные токи  и  являются и токами в ветвях 1, 2 и 3.

Зададимся положительными направлениями контурных токов и , как показано на рис.2.28 стрелками внутри контуров. Для рассматриваемой цепи имеем выражения собственных сопротивлений контуров:

В выражение ZЗЗ два раза входит член , так как контурный ток , проходя по катушке L4 от точки, индуцирует ЭДС взаимной индукции в катушке L5, также направленную от точки и, следовательно, против направления обхода контура 3. Тот же ток , проходя по катушке L5 к точке, индуцирует ЭДС взаимной индукции в катушке L4, направленную к точке катушки L4, а следовательно, опять против направления обхода контура. По этой причине напряжения  и , уравновешивающие ЭДС самоиндукции, противоположны по знаку напряжению , уравновешивающему ЭДС взаимной индукции, что учитывается знаками членов  и  в выражении для Z33.

Точно так же рассуждая, найдем, что ЭДС самоиндукции и взаимной индукции от тока  в катушках L5 и L3 противоположны по направлению, и поэтому член  имеет знак «минус»; ЭДС самоиндукции и взаимной индукции от тока  в катушках L3 и L4 совпадают по направлению, и поэтому член  имеет знак «плюс».

Общие сопротивления контуров выражаются следующим образом:

Член  входит в выражение Z12 со знаком «плюс», так как ЭДС взаимной индукции в катушке L4 от тока , направленного от точки на катушке L5, направлена от точки на катушке L4, а следовательно, и согласно с направлением обхода контура 1. По этой же причине ставим знак «плюс» перед членами  и  в выражении Z. В выражении ZЗ1 член  также имеет знак «плюс», но член  - знак «минус», так как ток  в катушке L5 направлен к точке, а следовательно, к точке на катушке L4, т.е. против направления обхода контура 1, направлена и ЭДС взаимной индукции.

Для ЭДС  и  в контурах получаем:

Приведенная выше методика расчета цепей при наличии взаимной индуктивности показывает, что ЭДС взаимной индукции можно учесть в виде дополнительного падения напряжения в k-й ветви от тока в m-й ветви. Падения напряжения в ветвях связываются с токами законом Ома в матричной форме:  При отсутствии ЭДС взаимной индукции матрица Z диагональна, и поэтому имеем  и  При наличии ЭДС взаимной индукции мы должны учесть дополнительные падения напряжения в k-й ветви в виде

                                                         (2.44)

и в m-й ветви в виде

                                                         (2.45)

При этом

   и  

Дополнительные члены написаны со знаком «плюс», так как токи  и  в ветвях k и mнаправлены от точек. Эти дополнительные члены можно учесть в матрице Z, если элементы на пересечении k-й строки с m-м столбцом и m-й строки с k-м столбцом принять равными  и .

Матрица Z при наличии взаимной индукции между ветвями k и mбудет иметь вид:

Наличие индуктивных связей, следовательно, приводит к тому, что матрица Z перестает быть диагональной. Однако она остается симметричной, так как Mkm=Mmk и поэтому  Индуктивные связи никак не отражаются в графе схемы, поэтому матрицы А,С,D составляются обычным образом.

Если произвести матричную операцию обращения матрицы сопротивлений Z, можно получить матрицу проводимостей Y, где также учитываются индуктивные связи. По этой причине все методы расчета, а именно метод контурных токов, метод узловых напряжений и метод сечений в матричной форме, могут в равной мере применены для расчета цепей с взаимной индукцией.

Для цепи (см. рис. 2.25) матрицы Z и Y= Z-1при наличии взаимной индукции между ветвями 3 и 4, 5 и 3, 5 и 4 и при условии направления токов в ветвях З, 4 и 5 от точек будут иметь вид:

где Y1= 1/Z1; Y2= 1/Z2; Y6= 1/Z6.

Будет полезно почитать по теме: