Расчет цепи, основанный на преобразовании соединения «треугольником» в эквивалентное соединение «звездой»

Для упрощения расчета сложной цепи в ряде случаев целесообразно осуществить преобразование некоторой части цепи. Эта часть цепи до ее преобразования должна быть эквивалентна этой же части цепи после ее преобразования при условии, что режим в остальной, не преобразованной части остается неизменным.

К числу таких преобразований относится, например, преобразование соеди­нения треугольником в эквивалентное соединение звездой, а также преобразование нескольких параллельно соединенных ветвей с источниками ЭДС в одну эквивалентную им ветвь с одним источником ЭДС.

На рис. 2.9 а между точками 1, 2 и 3 некоторой сложной цепи включены три участка с сопротивлениями Z1, Z2 и Z3, соединенные звездой.

Рис. 2.9. Варианты соединений участков цепи. Соединение участков
цепи звездой (а); соединение участков цепи треугольником (б)

На рис. 2.9 б между этими же точками включены три участка Z12, Z23 и Z31, соединенные треугольником. Остальная, не подвергающаяся преобразованию, часть сложной цепи на рисунке не показана.

Соединения звездой и треугольником эквивалентны друг другу при условии, что при одинаковых в обоих случаях напряжениях  и  между точками 1, 2 и 3 и токи  и , подходящие к этим точкам от остальной части цепи, одинаковы в обоих случаях. Составим уравнения для соединения звездой:

Решая эти уравнения относительно токов и , получим:

 

где

D=Z1Z2+Z2Z3+Z3Z1.

Для соединения треугольником имеем уравнения:

Токи  и , а следовательно, и ток  должны быть одинаковыми в обеих схемах при одинаковых в обоих случаях напряжениях  и , причем это должно быть справедливо при любых соотношениях между  и . Следо­вательно, коэффициенты в выражениях для токов  и  должны быть одинаковыми в случаях соединения звездой и треугольником. Получаем

      

Из этих уравнений определяются сопротивления искомого эквивалентного треугольника через заданные сопротивления звезды:

    

где

D = Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1.

Если заданы сопротивления треугольника и отыскиваются сопротивления эквивалентной ему звезды, то следует пользоваться формулами:

    

Например, формула для Z1 получается, если заметить, что

  и 

При эквивалентном преобразовании треугольника в звезду и наоборот возможны случаи, когда это преобразование теряет смысл, что имеет место при равенстве нулю сумм сопротивлений или проводимостей. Возможны и случаи, когда эквивалентное преобразование приводит к появлению отрицательных активных сопротивлений в отдельных лучах звезды или сторонах треугольника, означающему невозможность реализации таких схем при помощи одних элементов r, L, С. На ход расчета последнее обстоятельство не влияет. В окончательном выражении комплексное сопротивление всей пассивной цепи содержит положительную вещественную часть.

Упрощение расчета сложной цепи при помощи эквивалентного преобразования конфигурации цепи можно проследить на примере расчета цепи, изображенной на рис. 2.10 а.

Рис. 2.10. Упрощение расчета сложной цепи при помощи
эквивалентного преобразования конфигурации цепи

В этой цепи упрощение достигается преобразованием треугольника Z12, Z23, Z31 (рис. 2.10 а) в эквивалентную звезду Z1, Z2, ZЗ (рис. 2.10 б). После такого преобразования получаем простую цепь с последовательно-параллельным соединением участков.