Расчет сложных электрических цепей

Электрические цепи, схема которых не является простым сочетанием последовательного и параллельного соединений участков цепи, называют сложными цепями. Можно произвести расчет любой сложной цепи, составив на основе законов Кирхгофа систему уравнений и решив ее. В общем случае применение законов Кирхгофа в сочетании с заданными зависимостями между напряжениями на отдельных элементах и токами в них приводит к системе дифференциальных уравнений. Применение комплексного метода позволяет найти частное решение системы дифференциальных уравнений в установившемся режиме при протекании синусоидальных токов в линейной электрической цепи. При этом дифференциальные уравнения для мгновенных искомых токов заменяются алгебраическими уравнениями для комплексных токов, напряжений и ЭДС.

Число независимых уравнений должно быть равно числу неизвестных. Если отыскиваются токи во всех ветвях, то число уравнений должно быть равно числу ветвей в цепи. Такое равенство имеет место в цепи, в которой отсутствуют идеальные источники тока. При наличии идеальных источников тока в s ветвях число уравнений будет меньше общего числа ветвей на эту величину s, так как в таких ветвях токи заданы независимо от режима в остальной цепи.

Таким образом, в самом общем случае максимальное число уравнений определяется числом ветвей р, не содержащих только идеальные источники тока. Источники тока, содержащиеся в обобщенных ветвях, не входят в это число.

Полная система уравнений электрической цепи, в которую входят q–1 уравнений, составленных для токов (в узлах или в сечениях) согласно первому закону Кирхгофа, и n= p–q+1 уравнений, составленных для напряжений (в контурах) согласно второму закону Кирхгофа.

В матричной форме с учетом перехода от мгновенных токов и напряжений к комплексным токам и напряжениям можно записать q–1 уравнений Кирхгофа для узлов  или для сечений  и n= p–q+1 уравнений Кирхгофа для контуров  где

             

- матрицы-векторы (матрицы-столбцы) порядка р ×1; А - матрица узловых соединений порядка (q -1)×р; D - матрица сечений порядка (q -1)×р; С - матрица контуров порядка n×р (первое число определяет число строк матрицы, а второе - число столбцов). Все матрицы упорядочены, т.е. сначала пронумерованы ветви дерева (от 1 до q -1), а затем уже связи (от q до р).

Применение комплексного метода требует записи в комплексной форме всех заданных ЭДС, токов источников и зависимостей между токами и напряжениями. Учитывая особенности линейных цепей и перехода от дифференциальных уравнений к их алгебраическим изображениям, для пассивных элементов обобщенной ветви можем записать:

  или 

Такие уравнения могут быть записаны для р ветвей электрической цепи. Введем в рассмотрение матрицу сопротивлений и матрицу проводимостей, представляющие собой квадратные матрицы порядка р ×р, состоящие из диагональных ненулевых элементов Zk и Yk соответственно:

                                     

    

Имеют место равенства:

                                                                  (2.19)

и

                                                                 (2.20)

Уравнения, связывающие токи и напряжения пассивных частей ветвей, представляют собой законы Ома в комплексной форме, в матричной форме закон Ома будет иметь вид:

                                                                  (2.21)

или

                                                           (2.22)

С учетом последних равенств можно составить систему из р уравнений для искомых р напряжений:

AI= AYU= AJ или    и  CU= CE

или составить систему из р уравнений для искомых р токов

CU= CZI= CE  и  AI=-AJ  или  DU= -DJ.

В качестве примера рассмотрим цепь, изображенную на рис. 2.8 а. На рис. 2.8 б эта цепь представлена в виде двухполюсников с комплексными параметрами. Граф схемы (рис. 2.8 б), изображенный на рис. 2.8 в, совпадает с графом схемы (рис. 2.8 а).

Рис. 2.8. Схема сложной линейной цепи (а); схема сложной линейной цепи, представленной
в виде двухполюсников с комплексными параметрами (б); граф схемы (в)

Пусть заданы ЭДС и ток источника тока

    

а также параметры r, L, Cв ветвях цепи.

Для расчета с помощью комплексного метода необходимо записать исходные данные цепи (рис. 2.8, б) в виде

  

    

 

  

Для графа схемы (рис. 2.8, в) имеем:

        

A=

             

C=

Запишем в матричной форме все исходные данные:

I=           U=         E=       J=

      

Z= = diag (Z1Z2Z3Z4Z5Z6).

Символ diag означает, что матрица Z - квадратная, диагональная и ее диагональными элементами являются записанные в скобках величины.

Тогда система узловых уравнений Кирхгофа для токов может быть представлена в матричной форме:

AI  =  

                              

Падения напряжений в ветвях можно представить в виде вектора U= ZI, который ввиду диагональности матрицы Zбудет иметь вид

Падение напряжений и ЭДС в контурах можно представить в виде CUи СЕ. Тогда система контурных уравнений согласно второму закону Кирхгофа будет иметь вид:

CU         =     CZI      =    = CE.

(n´p)´(p´1)    (n´p)´(p´p)´(p´1)                               (n×1)                                                                

Произведение диагональной матрицы Zна столбцевую матрицу Iопределяет также столбцевуюматрицу, строками которой являются произведения диагональных элементов (в данном случае комплексные сопротивления ветвей) на токи соответствующих ветвей. Это обстоятельство облегчает выполнение такого матричного перемножения. Перемножение прямоугольных матриц Аи Cна столбцевые матрицы сводится к суммированию тех элементов строк столбцевой матрицы, номера которых соответствуют номерам ненулевых элементов столбцов прямоугольных матриц. По этой причине можно, рассматривая только матрицу А, или С, или D, записать соответствующее уравнение для данного контура, или узла, или сечения. Например, в контурное уравнение, записанное для контура 5, образованного связью 5 (см. строку 5 матрицы С), должны входить напряжения (а следовательно, и ) ветвей 1,2,5 со знаком «плюс» (в строке 5 эти столбцы имеют положительные ненулевые элементы) и ветви 3 со знаком «минус» (в строке 5 столбец 3 имеет отрицательный ненулевой элемент). Соответственно, для этого контура можно записать:

В контур 5 входят ЭДС именно этих же ветвей. Поскольку , то

Если расписать всю систему уравнений, получим для узлов 1,2,3, соответственно,

    

и для контуров 4, 5 и 6, соответственно,

 

Для расчета данной цепи, следовательно, необходимо решить систему из шести уравнений.

Трудность расчета сложных линейных цепей заключается в необходимости рать совместно р линейных алгебраических уравнений. В связи с этим представляют ценность методы, позволяющие тем или иным путем упростить задачу. Эти методы дают возможность или преобразовать цепь так, что расчет упрощается, или уменьшить число уравнений, или расчленить сложную задачу на ряд более простых.