Мгновенная мощность цепи синусоидального тока

Мгновенная мощность р = ui цепи переменного тока является функцией времени.

Рассмотрим энергетические процессы в цепи, состоящей из последовательно соединенных участков r, L и C (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Цепь, состоящая из последовательно соединенных участков r, L и C

Уравнение для напряжений в этой цепи имеет вид:

                                             (1.26)

Соответственно, для мгновенных мощностей на зажимах цепи и на отдельных участках цепи получим уравнение:

Из последнего выражения видим, что мощность  на участке с сопротивлением r является величиной всегда положительной и характеризует необратимый процесс поглощения энергии. Мощность определяет при  скорость поступления энергии в магнитное поле катушки и при pL< 0 – скорость возвращения энергии из этого поля. Мощность определяет при pC> 0 скорость поступления энергии в электрическое поле конден-сатора, а при pC<0 – скорость возвращения энергии из этого поля.

Пусть напряжение uи ток i являются синусоидальными функциями времени

Здесь начальная фаза тока принята равной нулю , что удобно, так как ток является общим для всех участков цепи. При этом начальная фаза напряжения uоказывается равной φ . Мгновенные напряжения на отдельных участках при этом равны

Соответственно, для мгновенных мощностей на отдельных участках цепи получаем выражения:

Суммарная мощность на конденсаторе и катушке

Мощность на зажимах всей цепи выражается в виде

Из полученных выражений видно, что средняя за период мощность на катушке и конденсаторе равна нулю. Средняя за период мощность, т.е. активная мощность, на зажимах всей цепи равна средней за период мощности на участке с сопротивлением :

                                               (1.27)

Амплитуда колебания мощности pхравна абсолютному значению реактивной мощности .

Все мгновенные мощности изменяются с частотой 2ω, в два раза превышающей частоту ω тока и напряжения.

На рис. 1.14 одна под другой даны диаграммы тока i, напряжений  и мощностей

Рис. 1.14. Диаграммы тока i, напряжений
и мощностей

На диаграмме рис. 1.14 а изображены величины на участке r. Мы видим, что в любой момент времени  и среднее значение величины  равно .

На диaгpaмме pиc. 1.14 б изображены величи­ны, относящиеся к катушке. Здесь среднее значение величины pLравно нулю. Энергия запасается в магнитном поле катушки, когда ток по абсолютному значению возрастает. При этом pL> 0. Энергия возвращается из магнитного поля катушки, когда ток по абсолютному значению убывает. При этом pL< 0.

На рис. 1.14 в даны величины, относящиеся к конденсатору. Здесь так же, как и на катушке, среднее значение мощности равно нулю. Энергия запасается в электрическом поле конденсатора, когда напряжение на конденсаторе по абсолютному значению возрастает. При этом pC> 0. Энергиявозвращается из электрического поля конденсатора, когда напряжение на конденсаторе по абсолютному значению убывает. При этом pC< 0.

Из сопоставления диаграмм рис. 1.14 б и в видим, что в частном случае, для которого построены эти диаграммы, амплитуда напряжения на катушке больше амплитуды напряжения на конденсаторе, т.е. UL>UC. Это соответствует соотношению . На рис. 1.14 г для этого случая даны кривые тока, напряжения и мощности pхна участке цепи, состоящем из катушки и конденсатора. Характер кривых здесь такой же, как и на зажимах катушки, так как в данном случае . Однако амплитуды напряжения uxи мгновенной мощности pхменьше амплитуд величин uL и pL. Это последнее является результатом того, что напряжения uLи uСпротивоположны по фазе.

На диаграмме рис. 1.14 д приведены величины на зажимах всей цепи, которые получаются суммированием величин на диаграммах рис. 1.14 а, б и в или а и г. Среднее значение мощности р равно . Колебания около этого среднего значения происходят с амплитудой , что видно из аналитического выражения для р. Ток i отстает от напряжения uна угол φ. В интервале времени от 0 до t2 мгновенная мощность на зажимах цепи положительна (р > 0) и энергия поступает от источника в цепь. В интервале времени от t2 до t3 мгновенная мощность на зажимах цепи отрицательна (р < 0) и энергия возвращается источнику.

Если мгновенная мощность на зажимах пассивной цепи положительна, то такая мощность называется мгновенной потребляемой мощностью. Если мгновенная мощность на зажимах пассивной цепи отрицательна, то такая мощность называется мгновенной выдаваемой мощностью.

Понятие мгновенной мощности позволяет в более формализованном виде определить понятие реактивных и активных элементов электрической цепи. Так, реактивными элементами можно называть такие, для которых интеграл мгновенной мощности за определенный интервал времени равен нулю.

В активных элементах электрической цепи интеграл мгновенной мощности за определенный интервал времени является отрицательной величиной – этот элемент является источником энергии – он выдает энергию. В пассивных элементах цепей интеграл мгновенной мощности за определенный интервал времени положителен – этот элемент потребляет энергию.

Так как  и, следовательно, cosφ > 0, то поступающая в цепь энергия, определяемая положительной площадью кривой p(t), больше возвращаемой источнику энергии, определяемой отрицательной площадью кривой p(t).

На рис. 1.15 для различных интервалов времени показаны штриховой стрелкой действительное направление тока и знаками «плюс» ( + ) и «минус» ( - ) действительные направления напряжений на зажимах цепи и на всех участках.

Рис. 1.15. Действительное направление тока и действительные направления напряжений
на зажимах цепи и на всех участках для различных интервалов времени

Стрелками с хвостовым оперением указаны направления потоков энергии в соответствующие интервалы времени.

Схема на рис. 1.15 а соответствует интервалу времени от 0 до t1, в течение которого ток возрастает от нуля до максимального значения. В это время энергия запасается в катушке. Так как напряжение на конденсаторе по своему абсолютному значению падает, то энергия электрического поля, запасенная в конденсаторе, возвращается и переходит в энергию магнитного поля катушки. В данном случае  и pL > pC, поэтому в катушку поступает дополнительная энергия из источника, питающего цепь. Питающий цепь источник покрывает также энергию, поглощаемую сопротивлением r.

Схема на рис. 1.15 б соответствует интервалу времени от t1 до t2. Ток i в этом интервале времени убывает, и энергия возвращается из магнитного поля катушки, частично поступая в конденсатор, который при этом заряжается, и частично превращаясь в теплоту на участке с сопротивлением r. В этом интервале времени ток имеет еще достаточно большое значение и, соответственно, значительна мощность . Поэтому источник, так же как и в предыдущем интервале времени, посылает энергию в цепь, частично компенсирующую потери в участке с сопротивлением r. Момент t2 харак­терен тем, что величина  уменьшилась настолько, что скорость уменьшения энергии в катушке обусловливает скорость поступления энергии в конденсатор и на участок с сопротивлением r. В этот момент мощность на зажимах всей цепи равна нулю (р = 0).

Схема на рис. 1.15 в соответствует следующему интервалу времени от t2 до t3, в течение которого ток уменьшается от значения при t = t2 до нуля. В этот промежуток времени энергия продолжает возвращаться из катушки, поступая в конденсатор, на участок с сопротивлением r и в источник, подключенный к зажимам цепи. В этот интервал времени p< 0.

Весь рассмотренный интервал  соответствует половине периода тока (Т/2). В нем полностью завершается один цикл колебания энергии, так как период мгновенной мощности в два раза меньше периода тока. В следующую половину периода изменения тока энергетический процесс повторяется и только действительные направления тока и всех напряжений меняются на противоположные.