Комплексный метод

Рассмотрим методы расчета установившихся режимов в линейной электрической цепи, когда ЭДС, токи и напряжения являются синусоидальными функциями времени. Определение токов и напряжений в таких цепях связано с нахождением частных решений неоднородных дифферен-циальных уравнений, записанных на основе законов Кирхгофа.

Вычисление непосредственно по первому закону Кирхгофа некоторого тока по другим, уже найденным токам, сходящимся к данному узлу цепи, или вычисление по второму закону Кирхгофа падения напряжения на некотором участке контура цепи по уже найденным падениям напряжения на других участках контура и ЭДС, входящим в данный контур цепи, требуют суммирования синусоидальных токов или напряжений и ЭДС. Однако эта операция связана с громоздкими и трудоемкими вычислениями.

Громоздкость подобных вычислений является следствием того, что синусоидальная величина - ток, напряжение, ЭДС - при заданной частоте ω определяется двумя величинами - амплитудой и начальной фазой.

Существенное упрощение достигается изображением синусоидальных функций времени комплексными числами А, так как каждое комплексное число содержит в себе две величины - модуль А и аргумент  при показательной форме записи

                                                                    (2.1)

или вещественную  и мнимую  составляющие при алгебраической и тригонометрической формах записи

                                              (2.2)

где  и e-основание натуральных логарифмов.

Метод, основанный на символическом изображении действительных синусоидальных функций времени комплексными числами, введенный в теорию переменных токов Штейнмецом, а затем в широкое употребление в России академиком В.Ф. Миткевичем, называют комплексным методом. Его называют также символическим методом, так как он основан на символическом изображении действительных синусоидальных функций времени комплексными числами.

Для вещественной и мнимой частей комплексного числа употребляют также обозначения:

                                                                   (2.3)

                                                                  (2.4)

Существуют следующие связи:

            

Также:

           

Две комплексные величины, имеющие равные модули и равные, но противоположные по знаку аргументы, называют сопряженными. Если имеем комплексное число , то сопряженное ему комплексное число запишется в форме . Важно отметить следующие свойства сопряженных комплексных чисел:

 

Пусть имеется синусоидально изменяющийся ток  Его можно представить в виде:

что видно также из соотношения:

Комплексное число

                                               (2.5)

и будем рассматривать как символическое изображение действительного синусоидального тока  оно, так же как и величина i, определяется при заданной частоте ω двумя величинами - амплитудой  и начальной фазой . Комплексное число называют комплексной амплитудой тока. Вводя знак изображения , будем писать:

Таким образом, для перехода от действительной синусоидальной функции, назовем ее оригиналом, к ее изображающей комплексной величине необходимо модуль последней взять равным амплитуде синусоидальной функции, а аргумент взять равным аргументу синусоидальной функции.

Для обратного перехода от комплексного числа, изображающего действительную функцию, к самой действительной функции, т.е. к оригиналу, необходимо взять коэффициент при j мнимой части комплексного числа.

Рассмотрим выражение для производной по времени от синусоидального тока:

Из сказанного вытекает, что ее изображение будет иметь вид

Таким образом,

т.е. операция взятия производной от действительной функции заменяется умножением на  ее комплексного изображения. Соответственно, для производной n-го порядка имеем

Рассмотрим выражение для заряда, равного интегралу от синусоидального тока:

Так как мы рассматриваем только случаи, когда приложенное к зажимам цепи напряжение и ЭДС, действующие в цепи, синусоидальны и не содержат постоянных составляющих, то напряжения на конденсаторах, а следовательно, и заряды на конденсаторах также не содержат постоянных составляющих и, соответственно,

Таким образом,

Искомое изображение будет иметь вид:

т.е. операция интегрирования действительной функции заменяется делением  ее комплексного изображения.

Таким образом, комплексный метод является методом алгебраизации дифференциальных уравнений. Сущность его заключается в том, что сначала все заданные функции времени заменяют их комплексными изображениями и все дифференциальные и алгебраические уравнения, составленные по законам Кирхгофа, заменяют алгебраическими уравнениями в комплексной форме, содержащими комплексные величины заданных и искомых функций и их производных и интегралов. Решая эти алгебраические уравнения, находят комплексные выражения искомых функций и от них переходят к оригиналам этих функций.

В виде примера рассмотрим уравнение Кирхгофа для цепи с последовательно соединенными участками r, L и C, к зажимам которой приложено напряжение

Оно имеет вид:

Изобразив напряжение , ток , его производную di/dt и интеграл  их комплексными выражениями

      и 

где  и  получим алгебраическое уравнение в комплексной форме:

Сократив его на  найдем

или

                                                         (2.6)

Из уравнения (2.6) определяется комплексная амплитуда тока  найдя которую, сразу можно написать искомое частное решение, т.е. выражение для мгновенного тока установившегося режима, а именно:

                                               (2.7)

Обычно интересуют действующие токи и напряжения. Так как действую­щие синусоидальные токи и напряжения меньше их амплитуд в  раз, то обыч­но вместо комплексных амплитуд рассматривают комплексные действующие величины:

                                                             (2.8)

                                                           (2.9)

В дальнейшем комплексные действующие ток, напряжение или ЭДС будем для краткости именовать комплексными током, напряжением или ЭДС.

Интересуясь только действующими токами и напряжениями и их начальными фазами, а соответственно, и сдвигами фаз, будем опускать множитель

Установим соответствие изображений синусоидальных токов, напряжений и ЭДС комплексными действующими значениями с их изображениями с помощью векторов.

Будем откладывать векторы в комплексной плоскости. По вертикальной оси, называемой осью вещественных, откладываем вещественные числа. По горизонтальной оси, называемой осью мнимых, откладываем мнимые числа.

Положительные направления осей будем отмечать знаками «+1» и «+j» (рис. 2.1).

Рис.2.1.Векторы напряжения и тока, комплексные выражения
которых имеют вид:  

Показанная на рис. 2.1 ориентация осей обычно принимается при построении векторных диаграмм.

Условимся начала векторов совмещать с началом координат, длины векторов в соответствующем масштабе брать равными действующим току, напряжению или ЭДС и углы между осью вещественных и векторами принимать равными начальным фазам соответствующих величин. При этих условиях каждой комплексной величине соответствует определенный вектор. Сопряженным комплексным числам соответствуют векторы, являющиеся зеркальными изображениями друг друга относительно оси вещественных.

На рис.2.1 изображены на комплексной плоскости векторы напряжения и тока, комплексные выражения которых имеют вид (2.8) и (2.9).

Если u - напряжение на зажимах цепи, а i - ток в этой цепи, то между их действующими значениями имеется связь  и они сдвинуты по фазе на угол . При этом для перехода от вектора тока к вектору напряжения надо первый повернуть на угол φ и изменить длину вектора в  раз, где а - масштаб для вектора тока и - масштаб для вектора напряжения.

Соответственно, для перехода от комплексного тока к комплексному напряжению необходимо аргумент первого увеличить на φ, так как , и умножить его модуль на z, так как , т.е. необходимо умножить комплексный ток на комплексное число

Таким образом, умножение комплексной величины на  соответствует повороту вектора на угол φ. Умножение комплексной величины на  соответствует повороту вектора на угол .

Геометрическое суммирование векторов, изображающих напряжения или токи, соответствует алгебраическому суммированию соответствующих им комплексных величин. Действительно, при геометрическом сложении векторов складываются алгебраически их проекции отдельно по одной и отдельно по другой взаимно перпендикулярным осям, а при алгебраическом сложении комплексных чисел складываются алгебраически отдельно их вещественные и отдельно их мнимые составляющие.