Использование метода взаимности для расчета электрических цепей при синусоидальном токе

Для линейных цепей справедлив важный принцип взаимности, установленный Максвеллом, который гласит: если ЭДС , действуя в ветви abсколь угодно сложной цепи, при отсутствии в цепи прочих ЭДС вызывает в другой ветви cd этой цепи ток , то такая же ЭДС , действуя в ветви cd, при отсутствии прочих ЭДС вызовет в ветви abтакой же ток .

Это положение вытекает из выражения для тока  по методу контурных токов. Выберем независимые контуры так, чтобы ветвь abвходила только в контур k, а ветвь cd - только в контур m, что по отношению к двум ветвям всегда можно сделать. Тогда из равенств:

  и  

следует, что , так как . При этом отношение есть взаимное сопротивление Zkm от k-го контура к m-му контуру, а отношение  есть взаимное сопротивление Zmk от m-го контура к k -му контуру. Таким образом, сформулированный указанным образом принцип взаимности приводит к равенству этих взаимных сопротивлений: Zkm = Zmk.

Переставляя ЭДС  из одной ветви в другую, мы одинаково согласовывали положительные направления ЭДС и токов в каждой из этих ветвей, а именно: мы приняли , а также  и .

Если бы при перестановке ЭДС из ветви abв ветвь cd мы изменили ее положительное направление, т.е. приняли  и , а положительные направления токов оставили прежними, т.е. приняли по-прежнему  и , то, очевидно, получили бы:

  и 

т.е. получили бы соотношение Zkm = –Zmk.

В дальнейшем, пользуясь принципом взаимности, будем предполагать, что положительные направления ЭДС и токов во всех ветвях приняты согласованными одинаково, т. е. будем при этом иметь Zkm = Zmk.

Принцип взаимности в сочетании с принципом наложения дает возможность существенно снизить трудоемкость расчета сложной цепи, в которой действует одновременно несколько ЭДС, особенно в случае, когда требуется определить ток в одной ветви этой цепи.

Пусть сложная цепь, состоящая из р ветвей, содержит s источников ЭДС  в s первых по порядку номеров ветвях. Предположим, что в цепи действует только одна ЭДС в k-й ветви , а остальные источники ЭДС закорочены с сохранением в ветвях их внутренних сопротивлений. Назовем эту задачу основной. Вычислим в этой задаче токи во всех р ветвях: . Здесь верхний индекс в скобках показывает, под действием какой ЭДС возникает ток, а нижний - в какой ветви рассматривается ток.

Если единственный источник с ЭДС  переставить в m-ю ветвь, то, согласно принципу взаимности, в k-й ветви пойдет такой же ток, как в m-й ветви в основной задаче, т.е. при этом ток в k-й ветви будет равен току , вычисленному в основной задаче.

В действительности в m-й ветви действует источник ЭДС . Очевидно, ток в k-й ветви, возникающий под действием единственного источника ЭДС , включенного в m-ю ветвь, равен:

Переставляя последовательно единственный источник ЭДС  во все ветви, в которых в исследуемой реальной цепи действуют источники ЭДС, т.е. изменяя индекс mот единицы до s, включая и значение m= k, и осуществляя пропорциональный пересчет значений токов от ЭДС  к действительным значениям ЭДС , вычислим таким методом токи в k-й ветви, возникающие в ней при действии всех действительных ЭДС поодиночке.

Согласно принципу наложения, ток  в k-й ветви, возникающий при действии всех заданных ЭДС одновременно, равен

                                                        (2.38)

Таким образом, достаточно решить только основную задачу, т.е. рассчитать токи  во всех ветвях, когда действует только одна ЭДС  в той ветви (k-й), в которой хотим найти ток , после чего искомый ток  вычисляется по формуле (2.38). Эта формула непосредственно пригодна для вычисления тока в ветви, содержащей источник ЭДС , т.е. если .

Для вычисления же тока в ветви, в которой нет источника ЭДС , можно воспользоваться этой же формулой (2.38), если предположить, что в эту ветвь включен фиктивный источник ЭДС , тогда

 ( k> s).                                          (2.39)

Поскольку суммирование идет только до m= s, k > s, то ток в k-й ветви от действия фиктивного источника, когда он включен в эту же k-ю ветвь, не учитывается.