Использование метода узловых напряжений для расчета электрических цепей при синусоидальном токе

При расчете сложных электрических цепей, когда уменьшенное на единицу число узлов меньше числа независимых контуров, целесообразно воспользоваться методом узловых напряжений. Узловыми напряжениями, которые являются искомыми величинами при этом методе, называют напряжения между каждым из q–1 узлов и одним определенным, но произвольно выбранным опорным узлом, который обозначим индексом 0. Узловое напряжение  имеет положительное направление от k-го узла (k = 1, 2, ..., q–1) к опорному узлу. Определив q–1 искомых узловых напряжений, нетрудно найти напряжения между любыми парами узлов и токи в ветвях цепи. Поскольку по первому закону Кирхгофа можно записать q–1 независимых уравнений, то выразим все токи в ветвях через искомые узловые напряжения для получения системы уравнений, записанных относительно q–1 искомых величин.

Условимся направлять узловое напряжение от k-го узла к опорному, или базисному, узлу. Обозначим узловое напряжение между k-м и базисным узлами через (рис. 2.16).

Рис. 2.16. Схема цепи, рассчитываемая методом узловых напряжений

Тогда напряжение некоторой обобщенной ветви s, присоединенной к узлам k и m, будет равно

                              (2.30)

Номера узловых напряжений совпадают с номерами узлов графа схемы и эти напряжения входят в выражение для напряжения s-й ветви обязательно с разными знаками. Примем ask= 1, если напряжение s-й ветви направлено от k-го узла, и ask= –1, если напряжение s-й ветви направлено к m-му узлу. Если сопоставить эти правила с правилами заполнения матрицы узловых соединений А, то можно заметить, что матрица-столбец напряжений ветвей графа схемы представляется через матрицу-столбец узловых напряжений как произведение

                                                          (2.31)

Действительно, строки матрицы At определяются ветвями графа схемы, а столбцы - узлами, и поэтому, если данная ветвь не соединена с опорным (или базисным) узлом, то в данной строке будут только два ненулевых (единичных) элемента обязательно с противоположными знаками. Произведение данной матрицы-строки на матрицу-столбец узловых напряжений равно разности двух узловых напряжений, которая и определяет напряжение данной обобщенной ветви.

Для формирования системы уравнений относительно узловых напряжений выразим  через параметры пассивных и активных элементов обобщенной ветви, так как в общем случае такие ветви содержат и источники ЭДС, и источники тока. Получим

  и 

Согласно первому закону Кирхгофа, для узлов графа схемы имеем

  или 

Но, поэтому

                                                     (2.32)

Мы получили в матричной форме уравнение для узловых напряжений (q–1 скалярных уравнений), содержащее следующие члены:

AYAt- квадратная матрица узловых проводимостей порядка (q -1) ×(q -1).

Эту матрицу можно записать в виде

где Ykk - собственная проводимость k-го узла;

Ykm - общая проводимость узлов k и m;

- матрица-столбец порядка (q–1)×1, состоящая из элементов, представляющих собой суммы токов источников токов ветвей, соединенных с данным узлом, номер которого определяет номер элемента;

А(YE)- матрица-столбец порядка (q–1)×1, элементы которой представляют собой суммы токов эквивалентных источников тока, образованных за счет преобразования источников ЭДС (Е) в ветвях в источники тока (YE).

Правая часть матричного равенства, таким образом, определяет сумму токов источников токов, которую запишем в виде

Решив тем или иным способом систему уравнений относительно узловых напряжений U0, получим возможность определить напряжения всех ветвей графа схемы из выражения , напряжения на пассивных элементах цепи из формулы , токи в этих элементах I = YUи токи в обобщенных ветвях графа схемы .

Здесь, так же как и в методе контурных токов, произведение AY(при условии диагональности матрицы Y) определит матрицу, отличающуюся от А тем, что вместо единиц в столбцах будут комплексные проводимости, номера которых совпадают с номерами столбцов (номерами ветвей) матрицы А. Произведение AYна At определяет элементы матрицы узловых проводимостей. Произведение k-й строки матрицы AYна k-й столбец матрицы At определит собственную проводимость k-го узла, равную сумме комплексных проводимостей ветвей, соединенных с k-м узлом. Произведение k-й строки матрицы AYна m-й столбец матрицы At определит общую проводимость узлов k и mи будет всегда равно сумме проводимостей ветвей, соединяющих узлы k и m, взятой с обратным знаком.

В развернутой форме совокупность уравнений по методу узловых напряжений имеет вид

                                    (2.33)

Здесь

Решив эту систему, найдем узловые напряжения, причем для k-го узла величина  будет равна

где  - главный определитель системы и  - его алгебраическое дополнение.

В матричной форме решение системы узловых уравнений записывается в виде

,                                                  (2.34)

где , т.е. - обратная матрица узловых проводимостей.

Если матрицу узловых проводимостей записать в виде , то обратную ей матрицу можно записать в форме , где  и  - определитель и его алгебраическое
дополнение. По размерности элементы обратной матрицы проводимостей являются комплексными сопротивлениями.

В качестве примера составим уравнения по методу узловых напряжений для цепи, изображенной на рис. 2.17 а, в которой имеются источники ЭДС и тока:

Рис. 2.17.  Схемы цепи – исходная, замещения и граф этой схемы.
Исходная схема цепи (а); схема замещения цепи (б); граф схемы (в)

Прежде всего запишем в комплексной форме все исходные данные, соответствующие схеме замещения цепи (рис. 2.17 б):

Матрица соединений для графа схемы (рис. 2.17 в) равна (здесь, как и ранее, пустые клетки обозначают нулевые элементы):

Кроме того, можно записать:

Здесь для удобства записи вместо матрицы-столбца напряжений обобщенных ветвей  записана ее транспонированная матрица в виде матрицы-строки. Аналогичная запись сделана для остальных матриц-столбцов. Также для удобства и квадратная диагональная матрица проводимостей цепи Yзаписана в краткой форме.

Имея в виду особенности матричного произведения AYи диагональный характер Y-матрицы, элементы матрицы AYможно записать непосредственно по матрице А. Имеем:

и

Произведение AYна At можно получить и по формальным правилам матричного умножения. Но этот же результат можно получить простым сопоставлением строк матрицы А (или AY).

Произведение YEесть матрица-столбец, которая в транспонированном виде равна:

что очень просто записать непосредственно по матрице Е.

Так как  то:

определяет матрицу-столбец, элементы которой являются суммой тех элементов матрицы , номера которых совпадают с номерами столбцов матрицы А с ненулевыми элементами. Например, во второй строке матрицы А имеются лишь следующие ненулевые элементы: а22 = 1, а23 = 1, а24 = –1, а26 = 1, а27 = –1. Следовательно, имеем сумму Y6E6–Y7E7.

В результате всех операций получаем:

или

где

Таким образом, собственная проводимость узлов есть сумма проводимостей, присоединенных к данному узлу, а общая проводимость узлов есть сумма проводимостей ветвей, соединяющих данную пару узлов, взятая с обратным знаком.

При наличии в цепи только одного источника тока , подключенного между опорным и k-м узлом, имеем:

Величину , имеющую размерность проводимости, называют входной проводимостью между опорным и k-м узлами, а величину  - взаимной проводимостью между k-м и m-м узлами.