Использование метода смешанных величин для расчета электрических цепей при синусоидальном токе

При решении некоторых задач, особенно задач расчета переходных процессов, часть ветвей целесообразно характеризовать сопротивлением, а другую часть – проводимостью, т.е. для части схемы может быть задано  а для другой части . Здесь индексы у и z показывают принадлежность матриц у- или z-ветвям (назовем ветви, характеризуемые проводимостью, у-ветвями, а ветви, характеризуемые сопротивлением, z-ветвями).

Различный вид записи закона Ома предопределяет выбор соответствующих искомых величин. Для Y-части схемы (часть схемы или графа схемы, содер­жащая только у-ветви) целесообразно в качестве искомых величин выбирать напряжения ветвей дерева. Для Z-части схемы (часть схемы или графа схемы, содержащая только z-ветви) целесообразно в качестве искомых величин (искомых переменных, как иногда говорят) выбирать токи в связях. Исходя из этой особенности, следует y-ветви отнести к ветвям дерева и только при невозможности этого, когда добавление новой y-ветви к предыдущим приводит к образованию контура, отнести эти ветви к связям. Если y-ветви не образуют дерево графа схемы, часть z-ветвей войдет в состав ветвей дерева, поэтому z-ветви могут содержаться также и в ветвях дерева графа схемы.

F-матрица определяет контуры (номера которых совпадают с номерами ветвей, отнесенных к связям) и входящие в эти контуры ветви дерева. При составлении дерева графа сначала только из y-ветвей, а затем уже дополнением дерева до конца связями (если не хватает для этого y-ветвей) структура F-матрицы будет следующей:

F-матрица разбивается на блоки, у которых первый нижний индекс показывает характер связи, образующей контур, а второй индекс - характер ветви дерева (у или z), входящей в данный контур. В контурах, образованных из y-связей, не могут находиться z-ветви дерева, так как y-ветвь становится связью при условии образования контура только из y-ветвей; поэтому Fyz = 0 всегда. Индекс yz, согласно правилам индексации, показывает, что контуры образованы y-связями и z-ветвями дерева.

Столбцы контурной матрицы Cразделим на четыре группы и пронумеруем столбцы последовательно: для группы y-ветвей дерева, затем для y-связей, после чего для z-ветвей дерева и завершим нумерацию z-связями. Соответственно, строки матрицы Cопределятся сначала

y-связями, а затем уже z-связями. При условии такого разбиения С-матрицу можно записать так:

При разделении ветвей на четыре группы матрицу сечений D также можно записать в виде

               

где

Соответственно такому разделению топологических матриц должно быть проведено разделение матриц Zи Y. Каждая из этих матриц будет состоять из двух диагональных блоков. Согласно приоритету ветвей, в верхней левой части будут расположены ветви, отнесенные к дереву, в нижней правой части - отне­сенные к связям. Соответственно, верхним подматрицам параметров ветвей дерева припишем нижний индекс 1, нижним подматрицам параметров связей нижний индекс 2. Эти матрицы будут иметь вид:

Матрицы-столбцы токов, напряжений, источников ЭДС и тока также разделим по этому принципу. Имеем:

где  и т.д.

Применим к части графа схемы, составленной из y-ветвей, метод сечений. Запись уравнений будет аналогична записи системы уравнений для сечений с дополнительным членом, учитывающим токи z-связей, равным

Имеем:

Точно так же, если применить метод контурных токов к части графа, составленной из z-ветвей, можно записать матричное уравнение:

Эти уравнения можно записать вместе:

                               (2.37)

Эта система матричных уравнений (2.37) и составляет систему уравнений для смешанных величин.

Если все ветви схемы отнести или к y-ветвям, или к z-ветвям, то получим, соответственно, уравнение метода сечений или метода контурных токов.

Для графа схемы (рис. 2.18) имеем:

Рис. 2.18. Граф cхемы

Матрицы параметров Zz, Yyв данном частном случае записаны в форме симметричных диагональных матриц. Это означает, что в цепи отсутствуют индуктивно связанные катушки и зависимые источники. При наличии индуктивно связанных катушек ветви, содержащие эти катушки, должны быть отнесены к z-ветвям, и тогда взаимная индуктивность может быть учтена добавлением недиагональных симметрично расположенных элементов в матрице Zz. Наличие зависимых источников также может быть учтено в этом случае добавлением членов в Z- и Y-матрицах.

Допустим, имеется зависимый источник тока в 4-й ветви, управляемый напряжением 2-й ветви:  Ток этого источника тока можно перенести в левую часть равенства и учитывать его добавлением в матрице Уy ненулевого элемента У42. Элемент У24 ≠ 0, и поэтому матрица Уy становится несимметричной. Точно так же, если в некоторой ветви (например, 7) имеется управляемый током (например, током ветви 5) источник ЭДС , то его можно учесть в виде дополнительного падения напряжения в контуре 7 от тока  добавлением в матрице Zz недиагонального элемента - Z75.

Метод смешанных величин дает возможность без эквивалентных преобразований учесть управляемые напряжением источники тока и управляемые током источники ЭДС, если их раздельно расположить, соответственно, в y–подграфе схемы и z–подграфе схемы, т.е.разделение графа производить с учетом и этого обстоятельства. Число неизвестных, а следовательно, и порядок системы уравнений неминимальны. В рассматриваемом случае число неизвестных равно шести, в то время как по методу контурных токов и по методу сечений (и узловых напряжений) оно равно четырем. В этом отношении метод смешанных переменных уступает другим методам.

Будет полезно почитать по теме: