Использование метода сечений для расчета электрических цепей при синусоидальном токе

Аналогично методу узловых напряжений, можно уменьшить число искомых величин до q–1 выбором в качестве неизвестных напряжений ветвей дерева  или матрицы - столбца , имея в виду, что произведена упорядоченная нумерация ветвей графа схемы, а именно сначала пронумерованы ветви дерева, а затем связи. Необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что для метода узловых напряжений нет такой необходимости. Согласно второму закону Кирхгофа, имеем:

                                                      

  или  .

Тогда напряжения всех обобщенных ветвей графа схемы можно выразить через напряжения ветвей дерева в следующем виде:

 поскольку

Запишем также следующие соотношения для активных и пассивных элементов цепи:

Для сечений цепи имеем:

   или 

Учитывая, что  и  можно записать

С учетом того, что получим:

                                                    (2.35)

Мы получили в матричной форме (2.35) уравнение относительно напряжений ветвей дерева (q–1 скалярных уравнений), куда входят:

- квадратная матрица проводимостей сечений порядка (q–1)×(q–1). Эту матрицу запишем в виде, аналогичном матрице узловых проводимостей, а именно:

где Ykk - собственная проводимость k-го сечения; Ykm  - общая проводимость сечений k и m;

 - матрица-столбец порядка (q–1)´1, состоящая из элементов, представляющих собой суммы токов источников тока ветвей, пересекаемых данным сечением, номер которого определяет номер ветви дерева;

 - матрица-столбец порядка (q–1) ´1, состоящая из элементов, представляющих собой суммы токов эквивалентных источников тока, образованных  за счет преобразования источников ЭДС в ветвях в источники тока .

В развернутой форме совокупность уравнений, полученных по методу сечений, имеет вид:

                                         (2.36)

Здесь

Решение этой системы в матричной форме можно записать в виде

Для напряжения k-й ветви дерева можно записать:

где  - главный определитель матрицы проводимостей сечений и  - его алгебраическое дополнение.

В качестве примера составим уравнение по методу сечений для цепи, изображенной на рис. 1.5 а и б, графы которой представлены на рис. 1.5 в, г и д. Имеем следующие исходные данные:

 

Для графа схемы (см. рис. 2.8) имеем три сечения: 1,2,3 (согласно трем номерам ветвей дерева). Тогда

Следовательно, имеем следующую систему уравнений:

где

Все эти величины могут быть получены путем формальных матричных операций и анализа элементов матрицы D.

Метод сечений и метод узловых напряжений сводятся к формированию и решению системы, состоящей из q–1 уравнений, и в этом отношении они равноценны. Однако в методе узловых напряжений используется матрица соединений, составление которой во всех случаях является обязательным, если речь идет не о непосредственной записи уравнений при помощи визуального способа составления матриц контуров и сечений. При использовании вычислительных машин процедура составления матриц Cи D должна быть формализована. Одним из таких методов является расчет матрицы F через подматрицы А1 и А2, поэтому в вычислительном отношении метод узловых напряжений более экономичен. Однако методы сечений и контурных токов позволяют выделить те напряжения и токи, которые могут представлять непосредственный интерес, а поэтому данные методы даже в отношении использования вычислительной техники имеют свои области применения.