Использование метода контурных токов для расчета электрических цепей при синусоидальном токе

То обстоятельство, что контур, образованный данной связью графа схемы, проходит только по ветвям дерева, дает возможность выразить токи в ветвях дерева через токи в связях. Такая связь в матричном виде записывается следующим образом:

                                                               (2.23)

Здесь - матрица-столбец порядка (q-1)×1, элементами которой являются токи  в обобщенных ветвях дерева;  - матрица-столбец порядка n×1, элементами которой являются токи обобщенных ветвей-связей графа

В обобщенных ветвях наряду с пассивными элементами Zи Y содержатся также источники ЭДС и тока. Подматрица D2 = –Ft является прямоугольной матрицей порядка (q–1)×n, состоящей из элементов и 0. Строки этой матрицы нумеруются согласно номерам ветвей дерева, а столбцы - согласно номерам связей графа схемы. Матрицу-столбец токов во всех ветвях графа схемы можно определить через матрицу токов в связях, имея в виду, что:

Сравнивая множитель-матрицу у  с матрицей , можно заметить, что имеет место равенство:

Таким образом, токи во всех обобщенных ветвях графа схемы выражаются через матрицу токов в связях () равенством

                                                                   (2.24)

Токи в связях, записанные в матричной форме буквой , называют контурными токами, так как связи и определяют контуры. Контурные токи, число которых равно n, можно принять за искомые неизвестные и составить уравнения именно для них. Матричная связь между токами ветвей дерева и токами связей графа схемы получается из матричного равенства , записанного на основе первого закона Кирхгофа применительно к сечениям графа схемы.

Уравнения на основе второго закона Кирхгофа записываются в виде

                                                                     (2.25)

или

где  матрица–столбец порядка р×1, элементами которой являются напряжения обобщенных ветвей; U- матрица-столбец порядка р×1, элементами которой являются напряжения пассивных элементов обобщенных ветвей (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Пример схемы, рассчитываемой методом контурных токов

Для пассивных элементов можно записать закон Ома в матричной форме, а именно:

,                                                                 (2.26)

где Z-квадратная матрица порядка рxр сопротивлений ветвей цепи. Кроме того, справедливо соотношение

или в матричной форме:

Если подставить эти соотношения в контурное уравнение, то получим

или

Но , поэтому окончательно имеем:

  (n×p)×(p×p)×(p×n)×(n×1)  (n×p) (p×1)  (p×p)×(p×1)

                           (2.27)

Система уравнений в матричной форме для контурных токов состоит из n уравнений и содержит следующие члены:

-  квадратную матрицу контурных сопротивлений порядка nxn. Эта матрица связывает падения напряжений в контурах с контурными токами. Она имеет вид:

- СЕ- матрицу-столбец порядка n×1, состоящую из элементов, представляющих собой суммы ЭДС ветвей, входящих в контуры, образованные связями, номера которых определяют номера элементов;

-  матрицу-столбец порядка n×1, состоящую из элементов, представляющих собой суммы ЭДС эквивалентных источников ЭДС, образованных за счет преобразования источников токов  в ветвях в источники ЭДС .

Правая сторона матричного равенства, таким образом, определяет суммы ЭДС, которые можно записать в виде:

Решив систему уравнений, найдем контурные токи (матрицу-столбец ).

Зная , можно определить токи во всех обобщенных ветвях из выражения  токи во всех пассивных элементах цепи - из формулы  а также напряжения на пассивных элементах  и напряжения обобщенных ветвей (между парами узлов) .

Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 2.13.

Рис. 2.13. Пример расчета сложной линейной цепи методом контурных токов

Выделим ветви 1, 2, 3 в качестве дерева графа. Тогда ветви 4, 5 и 6 определят связи этого графа. Матрицы С, Е,  и Zможно записать в виде:

           

        

Матрицы CZ, CZCt,  и  можно получить, выполнив соответствующие матричные операции умножения:

                   

 

Окончательно система уравнений примет вид:

 или

Если рассмотреть матрицу CZ, то можно заметить ее отличие от матрицы С. Там, где в столбце матрицы С имеются ненулевые элементы, в матрице CZ появляются комплексные сопротивления, номера которых совпадают с номерами столбца. Поэтому заполнение этой матрицы как вручную, так и при помощи ЭВМ можно осуществить простым перебором элементов матрицы С, не прибегая для этой цели к матричному умножению. Произведение CZCt также просто получить, рассматривая матрицу С. Пусть нас интересует j, s-й элемент CZCt. Для этого должно быть выполнено умножение j-й строки матрицы CZ на s-й столбец матрицы Ct. Но s-й столбец матрицы Ct есть s-я строка матрицы С. Поэтому j, s-й элемент матрицы CZCt есть сумма сопротивлений тех столбцов матрицы CZ, где в j-й и s-й строках матрицы С одновременно будут содержаться ненулевые элементы, причем знак сопротивления в сумме определится по сочетанию знаков ненулевых элементов (знак «плюс» – если знаки одинаковы, и «минус» - если они разные ). Так, например, Z23 есть произведение 2-й строки матрицы CZ на 3-й столбец матрицы Ct или на 3-ю строку матрицы С, рассмотренную как столбец (по номерам 2-й строке соответствует число 5, а 3-й строке - число 6 в матрице С). В этих строках одновременно не равны нулю элементы в столбцах 1 (знаки совпадают) и 2 (знаки совпадают). Поэтому Z23=Z1+Z2. Разумеется, такой закономерности не будет при отсутствии совпадения ненулевых элементов у матриц CZ и Ct, что может быть, если Z - несимметричная матрица (диагональная матрица симметрична).

Строка матрицы Cопределяет ветви, входящие в данный контур, поэтому элемент Zkk, вычисляемый как произведение k-й строки матрицы CZ на k-й столбец матрицы Ct, определит собственное сопротивление k-гo контура, равное сумме всех комплексных сопротивлений ветвей, входящих в k-й контур. Точно так же произведение k-й строки матрицы CZ на m-й столбец матрицы Ct определит общее сопротивление контуров k и m, равное сумме комплексных сопротивлений тех ветвей дерева, которые входят в k-й и в m-й контуры. При этом сопротивления тех ветвей, контурные токи в которых совпадают по направлению, войдут в сумму со знаком «плюс», в противном случае – со знаком «минус».

Уравнения относительно контурных токов для не очень сложных цепей можно составить непосредственно, рассматривая схему цепи. Для этого следует выделить контуры, по которым проходят эти токи. Выделим в качестве таковых токи  показанные на рис. 2.10. Для них можно составить систему из трех уравнений. Для составления системы уравнений относительно nконтурных токов пронумеруем контурные токи от 1 до nи выберем контуры таким образом, чтобы в них обязательно входила какая-либо новая ветвь (проще всего в качестве контурных токов выбирать токи в связях и нумеровать связи от 1 до n). Выберем произвольно положительные направления обходов контуров и будем считать эти направления также положительными направлениями контурных токов. Обозначим через  сумму ЭДС, входящих в контур k. ЭДС, направление которых совпадает с направлением обхода, следует брать со знаком «плюс», а несовпадающие – со знаком «минус». Обозначим через Zkk сумму сопротивлений, входящих в контур k, и назовем величину Zkk собственным сопротивлением контура. Сумму сопротивлений в общей для контуров k и mветви обозначим через Zkm или Zmk и назовем общим сопротивлением контуров k и m. Согласно второму закону Кирхгофа, получаем для nнезависимых контуров следующую систему из nлинейных уравнений:

                                             (2.28)

Составление таких уравнений, содержащих nконтурных токов, и решение их относительно этих токов и является содержанием метода контурных токов.

Для соблюдения единообразия в написании уравнений перед всеми членами, содержащими общие сопротивления Zkm, ставим знак «плюс». При этом следует считать Zkm = Zmk = rkm + jxkm, если условные положительные направления контурных токов в общей ветви контуров k и mсовпадают, и Zkm = Zmk = – rkm – jxkrm, если они противоположны. В этих выражениях rkm и xkm– алгебраические суммы активных и реактивных сопротивлений в общей ветви.

Упрощение, достигаемое введением понятия контурных токов, не ограничивается уменьшением числа уравнений, оно определяется еще и тем, что достигается некоторый автоматизм в записи системы уравнений. Так, приведенная выше система из nуравнений записана даже без рассмотрения конкретных контуров цепи – выяснено лишь число независимых контуров. Естественно, для определения величин Zkk, Zkm и  необходимо учесть входящие в контуры конкретные сопротивления и ЭДС, а также выбранные положительные направления токов и ЭДС.

Решая приведенную выше систему уравнений для контурного тока  в контуре k, найдем:

где  - главный определитель системы, причем

а  - алгебраические дополнения, получаемые из определителя  путем вычеркивания в нем k-й строки и m-го столбца и умножения вновь полученного определителя на ( –1 )k+m. Для линейных цепей без зависимых источников энергии . Действительно,  получается из  путем вычеркивания k-й строки и m-го столбца, а  - путем вычеркивания m-й строки и k-го столбца. Так как при отсутствии зависимых источников энергии Zkm = Zmk, то в результате вычеркивания получаются два определителя, в которых элементы строк одного равны элементам соответствующих столбцов другого, а такие определители равны друг другу.

В матричной форме решение для контурных токов записывается в виде:

где (CZCt)-1(CZCt) = 1, т.е.(CZCt)-1 - обратная матрица контурных сопротивлений.

В качестве примера рассмотрим цепь, изображенную на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Пример на определение контурных токов в цепи

Положительные направления контурных токов  и  направим так, как указано стрелками. Контурные токи  и  в данном частном случае равны действительным токам в первой и во второй ветвях. Действительный же ток в третьей ветви равен сумме контурных токов  и .

Пользуясь методом контурных токов, имеем только два уравнения:

 

причем собственные сопротивления контуров

Z11 =Z1 +Z3  и  Z 22 = Z 2 + Z 3

и общее сопротивление

Z12=Z21=Z3;

кроме того,  .

Определитель системы:

Соответственно,

  

Получаем:

 

Ток  получается алгебраическим суммированием токов  и :

Составим уравнения по методу контурных токов для цепи, изображенной на рис. 2.15, причем изберем независимые контуры и положительные направления контурных токов в них согласно рис. 2.15.

Рис.2.15. Пример на составление уравнений по методу контурных токов

Этих уравнений будет только три, и они имеют вид:

                                                (2.29)

причем

    

    

    

Здесь получаем определитель третьего порядка, выражение для которого уже достаточно громоздко. С увеличением числа уравнений решение становится все более трудоемким.

Если в цепи действует лишь одна ЭДС , то для токов имеем:

Здесь величину , имеющую размерность сопротивления и определяющую ток в k-м контуре от ЭДС, содержащейся в этом же контуре, называют входным сопротивлением k-го контура.

Величину , определяющую ток в m-м контуре от ЭДС, действующей в k-м контуре, называют взаимным сопротивлением от k-го контура к m-му контуру. Входное и взаимное сопротивления определены здесь для контуров цепи. Однако их всегда можно определять и для ветвей цепи. Это ясно из того, что всегда можно выбрать независимые контуры так, чтобы две ветви, например ветви abи cd, вошли каждая только в один контур, скажем, ветвь abв k-й контур, а ветвь cd – в m-й контур.

Необходимо обратить внимание на то, что взаимное и общее сопротивления - величины существенно различные. Общее сопротивление Zkm есть сопротивление ветви, входящей как в k-й, так и в m-й контур. Для него, как и для сопротивления любой ветви, имеет место соотношение Zkm = Zmk. Взаимное же сопротивление может относиться к двум любым контурам цепи, в общем случае и не имеющим общей ветви. Поэтому если обозначать взаимные сопротивления  и  также через Zkm и Zmk, то для них связь Zkm = Zmk будет иметь место только при дополнительном условии, что положительные направления для ЭДС  и тока  в k-м контуре согласованы между собой, так же как и для ЭДС  и тока  в m-м контуре, т.е. в обоих контурах положительные направления ЭДС и тока приняты в одном направлении или же в обоих контурах положительные направления ЭДС и тока друг другу противоположны. В противном случае для взаимных сопротивлений будет Zkm = –Zmk.

Существенно различный смысл имеют также входное и собственное сопротивления контура. Собственное сопротивление есть сумма всех сопротивлений, входящих только в данный контур.
Входное же сопротивление есть сопротивление всей цепи, определенное по отношению к источнику ЭДС в данном контуре при условии, что ЭДС всех других источников приняты равными нулю.

Необходимо заметить, что при определении входного и взаимного сопротивлений можно исходить не из ЭДС в контуре или в ветви, а из напряжения между двумя точками контура или ветви, например напряжения на входных или выходных зажимах в какой-нибудь части цепи. При этом, естественно, в собственном сопротивлении этого контура необходимо учесть только сопротивления участков контура между этими зажимами, входящих в рассматриваемую цепь.