Использование метода эквивалентного генератора для расчета электрических цепей при синусоидальном токе

Задача отыскания тока в одной выделенной ветви может быть решена также с помощью метода эквивалентного генератора, или, как иногда говорят, с помощью теоремы об эквивалентном генераторе. Сущность этого метода заключается в том, что по отношению к выделенной ветви аbс сопротивлением Zab вся остальная часть сложной цепи, содержащая источники ЭДС, может быть заменена одним эквивалентным генератором с ЭДС  и внутренним сопротивлением Zr.

Пусть ветвь с сопротивлением Zab входит в контур 1 и является связью в методе контурных токов. Собственное сопротивление этого контура можно записать в виде Z11 = Zаb + Z011, имея в виду, что Z011 есть собственное сопротивление контура, когда Zab = 0. Поскольку выделенная ветвь является связью, то Zab не войдет ни в какие другие элементы матрицы контурных сопротивлений. Согласно методу контурных токов, имеем

  или  

Разложим  по элементам первой строки. Тогда

Здесь  - определитель матрицы контурных сопротивлений при условии, что Zab = 0. Учитывая это, предыдущее равенство можно записать в виде:

или

Последнему равенству соответствует схема, изображенная на рис. 2.20.

Рис. 2.20. Замена активного двухполюсника А эквивалентным генератором
с ЭДС  и сопротивлением Zr

Эта схема и свидетельствует о возможности замены активного двухполюсника А эквивалентным генератором с ЭДС  и сопротивлением Zr. Следовательно, искомый ток в ветви аb:

                                                               (2.40)

Выше изложен метод замены сложной активной цепи по отношению к выделенной паре зажимов двухполюсником, содержащим неидеальный источник энергии. В данном случае такой источник был представлен источником ЭДС  с внутренним ненулевым сопротивлением Zr. Заменим источник ЭДС источником тока: и параллельно присоединенной к источнику тока проводимостью  Тогда напряжение  на зажимах выделенной ветви аbможет быть определено при помощи выражения

                                                             (2.41)

Ток  равен току в ветви аbпри Zab = 0. Таким образом, для определения тока  в
интересующей нас ветви необходимо экспериментально или расчетным путем найти напряжение  при разрыве ветви аbи сопротивление Zr всей прочей части цепи при замкнутых накоротко содержащихся в ней источниках ЭДС.

В реальных электрических цепях величина Zr может быть определена также и экспериментально. Обозначим ток в ветви аbпри Zab = 0, т.е. при замыкании этой ветви накоротко, через . Тогда из выражения для  получим  т.е. Zr можно определить экспериментально как отношение напряжения  на зажимах аbцепи при холостом ходе к току  при ее коротком замыкании.

Применим теорему об эквивалентном генераторе для определения токов в цепи, изображенной на рис. 2.14. Для определения тока  разомкнем первую ветвь и найдем напряжение на ее зажимах (рис. 2.21), причем положительное направление примем совпадающим с принятым на рисунке положительным направлением искомого тока .

Рис. 2.21. Схема для определения тока

Имеем

Сопротивление Zr найдем как сопротивление всей прочей цепи между зажимами аbпри замкнутых накоротко источниках ЭДС (рис. 2.22):

Рис. 2.22. Схема для определения сопротивления Zr

Следовательно, искомый ток:

Для определения этим методом тока  необходимо разомкнуть третью ветвь (рис. 2.23).

Рис. 2.23. Схема для определения тока

Напряжениена ее зажимах при этом имеет значение

Величина Zr в этом случае равна:

Следовательно

В качестве примера применения теоремы об эквивалентном генераторе рассмотрим задачу об определении тока  в ветви аb измерительного прибора неуравновешенной мостовой схемы (рис. 2.24) в случае, когда можно пренебречь внутренним сопротивлением источника ЭДС, питающего мост.

Рис. 2.24. Схема измерительного прибора неуравновешенной мостовой схемы

Предположив, что ветвь аbразомкнута (рис. 2.25), найдем напряжение  на ее зажимах:

Рис. 2.25. Схема для определения напряжения  на зажимах ветви аb

Для сопротивления Zr цепи между точками а и bпри разомкнутой ветви измерительного прибора и при замыкании накоротко точек с и d (рис. 2.26) получим выражение:

Следовательно, искомый ток:

где Zab -сопротивление измерительного прибора.

Рис. 2.26. Схема для определения сопротивления Zr цепи между точками а и b
при разомкнутой ветви измерительного прибора и при замыкании накоротко точек с и d

Рассмотрим еще один пример использования теоремы об эквивалентном генераторе, а именно – задачу подбора параметров в данной ветви, подключенной к сложной цепи с целью получения максимальной активной мощности. Применив теорему об эквивалентном генераторе, можно определить ток в приемнике:

                                            (2.42)

Активная мощность

                                           (2.43)

Из выражения для Pпри rпр ≠ 0 следует, что максимум мощности можно обеспечить при уменьшении знаменателя, добиваясь равенства xпр + xr= 0 (xпр и xrмогут быть разного характера - индуктивного или емкостного). При этом

Учитывая, что rr - величина заданная, можно найти Рmax, изменяя rпр. Условием обеспечения абсолютного максимума будет равенство rr = rпр. При этом

  и 

где  - коэффициент полезного действия рассматриваемого устройства. Режим максимальной мощности представляет интерес в маломощных передаточных устройствах, применяемых в электроизмерительной технике, в радиотехнике, радиоэлектронике и автоматике. В этих случаях получение как можно большей мощности нередко является более важным, чем достижение большого значения коэффициента полезного действия.