Эквивалентные параметры сложной цепи переменного тока, рассматриваемой как двухполюсник

Для любой сложной цепи с постоянными параметрами при синусоидальном напряжении на ее входных зажимах общий входной ток цепи будет также синусоидальным и в общем случае сдвинут по отношению к напряжению на угол φ.

Рассматривая всю цепь в целом как двухполюсник и не интересуясь ее внутренним строением, можно характеризовать ее некоторыми эквивалентными параметрами. На рис. 1.16 эта двухполюсная цепь изображена в виде прямоугольника.

Рис. 1.16. Двухполюсные цепи

Назовем эквивалентным полным сопротивлением всей цепи отношение действующих напряжения и тока на входе цепи:

                                                                   (1.31)

Оно может быть измерено с помощью вольтметра и амперметра.

Эквивалентное активное сопротивление всей цепиопределим как отношение активной мощности на зажимах цепи к квадрату действующего тока:

                                                                 (1.32)

Эквивалентное реактивное сопротивление всей цепиопределим так, чтобы сохранилась связь  которая имела место для рассмотренных выше простейших цепей, т.е.

                                                          (1.33)

причем знак «плюс» ставим, если φ > 0, и знак «минус», если φ < 0. Для определения знака угла φ нужно располагать фазометром, или можно, например, по­ступить следующим образом: включив последовательно с цепью катушку, имеющую индуктивное сопротивление, меньшее абсолютного значения  рассматриваемой цепи, повторно произвести измерение величин  и вычислить . Если при этом реактивное сопротивление увеличится, т.е.  то это значит, что φ>0. В противном случае φ < 0.

Аналогично определим эквивалентные проводимости из соотношений:

                                                                   (1.34)

                                                                  (1.35)

                                                           (1.36)

причем, так же как и для , будем считать bЭ> 0 при φ > 0 и bЭ< 0 при φ < 0. В дальнейшем условимся опускать индекс «э».

Установим связь между эквивалентными сопротивлениями и проводимостями и углом φ. Для активного сопротивления имеем:

                                                 (1.37)

и из соотношения  для реактивного сопротивления получаем

.                                                               (1.38)

В последнем выражении при извлечении квадратного корня из  взят знак «плюс», так как мы условились считать х > 0 при φ > 0.

Соответственно, для активной проводимости получим выражение

                                               (1.39)

и из соотношения  для реактивной проводимости найдем

.                                                                (1.40)

Из полученных выражений имеем

Учитывая соотношения (1.37) - (1.40), получаем связь между эквивалентными сопротивлениями и проводимостями:

Сказанное выше можно проиллюстрировать векторными диаграммами (рис. 1.17).

Рис. 1.17. Векторы тока и напряжения для двух случаев: φ > 0 и φ<0

Формально всегда можно разложить вектор напряжения на две составляющие: вдоль вектора тока и перпендикулярно ему. Эти составляющие, соответственно, будут равны  и . Эти составляющие иногда называют активной и реактивной

составляющими приложенного напряжения, а образуемые ими и вектором  прямоугольные треугольники – треугольниками напряжения. Разделив все стороны этих треугольников на , получим треугольники сопротивлений, катетами которых являются эквивалентные активные и реактивные сопротивления, а гипотенузой – эквивалентное полное сопротивление.

Аналогично можно разложить вектор тока на вдоль вектора напряжения и перпендикулярно ему. Эти составляющие (рис. 1.18) равны  и

Рис. 1.18. Составляющие вектора тока  и

Их иногда называют активной и реактивной составляющими тока, а образуемые ими и вектором  прямоугольные треугольники – треугольниками тока. Разделив все стороны этих треугольников на U, получим треугольники проводимостей, катетами которых являются эквивалентные активные и реактивные проводимости, а гипотенузой – эквивалентная полная проводимость.

Как составляющие треугольников сопротивлений, так и составляющие треугольников проводимостей не являются вращающимися векторами, так как  и у не изображают функций времени, как это имеет место для векторов  и .

Обратим внимание также на то, что разложение напряжения на активную и реактивную составляющие (рис. 1.17) имеет физический смысл только для простой последовательной цепи, так как при этом активная составляющая равна падению напряжения на участке с сопротивлением  и реактивная составляющая равна падению напряжения на участке, содержащем конденсатор и катушку.

Для параллельной цепи, а также для сложной цепи такое разложение является чисто формальным. Соответственно, разложение тока на активную и реактивную составляющие имеет физический смысл только для простой параллельной цепи, а в общем случае является формальным.