Действующие и средние значения периодических ЭДС, напряжений и токов

О значениях периодических ЭДС, напряжений и токов обычно судят по их средним квадратическим значениям за период, обозначаемым, соответственно, через Е, U,I:

                                                               (1.4)

                                                               (1.5)

                                                                 (1.6)

Эти величины называют действующими периодическими ЭДС, напряжением и током. Такой выбор определяется нижеследующими соображениями.

Среднее за период значение мощности, характеризующее выделение теплоты в цепи с сопротивлением r, имеет выражение

Следовательно, вводя понятие о действующем периодическом токе как среднем квадратическом значении его за полный период, получаем формулу для средней мощности, выраженной через этот ток, такую же по виду, как и при постоянном токе.

Мгновенная электромагнитная сила F взаимодействия двух катушек или вообще двух любых контуров, по которым последовательно протекает один и тот же ток i, выражается в виде

где  - производная от взаимной индуктивности М контуров по той координате g, которую стремится изменить сила F. При периодическом изменении тока i (1.1) среднее значение силы Fcp за период имеет выражение

Если катушки обладают достаточно большой инерцией или вообще закреплены и, следовательно, не меняют своего положения в течение периода изменения тока в них, то величина  остается постоянной и может быть вынесена за знак интеграла. Получаем

т.е. выражение для Fсрчерез действующее значение периодического тока получается таким же, как и при постоянном токе.

Мгновенная сила Fпритяжения пластин конденсатора выражается в виде

где u- мгновенное напряжение между пластинами; C - емкость между пластинами;  - координата, характеризующая взаимное расположение пластин, которую стремится изменить сила F. Среднее за период значение силы Fсрпри условии, что инерция пластин столь велика, что положение их не изменяется в течение периода напряжения u, равно

Таким образом, выражение Fсрчерез действующее напряжение u оказывается совпадающим с выражением при постоянном напряжении.

Определим связь действующего значения Е (1.4) синусоидальной ЭДС, , с ее амплитудой Em. Имеем

               (1.7)

так как

Аналогично для синусоидальных напряжения и тока получим

                                                                    (1.8)

                                                                     (1.9)

Большая часть приборов, используемых для измерения периодических напряжений и токов, показывает действующее значение этих величин.

Среднее арифметическое значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов за весь период равно нулю. Поэтому вводят понятие об их среднем значении за положительный полупериод.

Такое определение средних значений используют и для периодических несинусоидальных ЭДС, напряжений и токов, когда положительные и отрицательные их полуволны одинаковы.

Среднее значение синусоидальной ЭДС равно, в частности,

                             (1.10)

и, соответственно,

Особенно просто вычисляется среднее значение ЭДС, индуцируемой периодически изменяющимся потокосцеплением Ψ, через его максимальное Ψmaxи минимальное Ψmin значения. Действительно,

так как ЭДС проходит через нуль при Ψ = Ψmax и Ψ = Ψmin и е > 0 в интервале, когда потокосцепление изменяется от Ψmax до Ψmin. В тех случаях, когда Ψmax = - Ψmin = Ψm, получим
Еср = . Эта простая формула не зависит от закона изменения потокосцепления от Ψmax до Ψmin. Если же желаем определить действующую ЭДС, то величину Еср (1.10) необходимо умножить на так называемый коэффициент формы kф = Е/Еср кривой ЭДС (т.е. отношение действующего значения к среднему):

В частном случае, при синусоидальном потокосцеплении  ЭДС имеет выражение:

Индуцируемая ЭДС отстает от потокосцепления Ψ на угол  (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Индуцируемая ЭДС отстает от потокосцепления Ψ на угол

При синусоидальной ЭДС коэффициент формы

и, соответственно, Е = 4,44 fΨm.

Вводят в рассмотрение также коэффициент амплитуды ka = Еm/Е (отношение максимального отношения к действительному).

В частности, для синусоиды ka =