Частотные характеристики цепи с последовательным соединением участков r, L, C

Зависимости полного и реактивного сопротивлений цепи и угла сдвига φ между током и напряжением от частоты приведены на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Зависимости полного и реактивного сопротивлений цепи
и угла сдвига φ между током и напряжением от частоты

В данной цепи активное сопротивление не зависит от частоты. Реактивное сопротивление
 при трех характерных значениях частоты принимает предельные значения, равные либо нулю, либо бесконечности (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Зависимость реактивного сопротивления от частоты

Аргумент функции, при котором она принимает бесконечное значение, называют полюсом функции, а аргумент, при котором функция принимает нулевое значение, называют нулем этой функции. В данном случае имеем функцию х(ω), и, следовательно, ее полюсами будут частоты, при которых , т.е. ω= 0 и , а нулем будет частота, при которой х(ω) = 0, т.е. ω = ω0. На рис. 3.3 полюсы обозначены крестиками, а нули – кружками. Таких же обозначений будем придерживаться и в дальнейшем. Характерное свойство функции х(ω) заключается в том, что при всех частотах dx/dw > 0. Действительно, с увеличением частоты растут оба слагаемых величины , т.е. ωLи , так как  и

Таким образом, с увеличением частоты величина х, понимаемая алгебраически, всегда растет. Это характерное свойство относится к реактивным сопротивлениям любых сколь угодно сложных цепей без потерь.

Необходимо обратить особое внимание на то обстоятельство, что в момент резонанса происходит изменение характера реактивного сопротивления (см. рис. 3.2 и 3.3). Если при ω < ω0 реактивное сопротивление имело емкостный характер (х < 0, φ < 0), то при ω > ω0 оно принимает индуктивный характер (х > 0, φ > 0). В частном случае, если r = 0, при частоте ω = ω0 происходит скачкообразное изменение угла φ от  до , т.е. происходит, как иногда говорят, «опрокидывание фазы» (рис. 3.3).

Рассмотрим зависимость от частоты реактивной проводимости той же цепи (см. рис. 3.1). Как известно,

Для случая, когда r = 0,

                                       (3.10)

Реактивная проводимость при отсутствии r в цепи также имеет три характерные частоты - два нуля (ω= 0, ), при которых b= 0, и один полюс (ω=ω0), при котором . По характеру кривой b(ω) (рис. 3.4) можно заметить, что с увеличением частоты величина b всегда убывает, т.е. при всех частотах db/dω < 0.

Подпись: I/r

Рис. 3.4. Зависимости реактивной проводимости от частоты ωи сопротивления r

Действительно, при r = 0 имеем

так как x> 0 и

Это свойство относится к реактивным проводимостям любых сколь угодно сложных цепей без потерь.

При r ≠ 0, в отличие от зависимости х(ω) для последовательного соединения r, L, С, реактивная проводимость зависит не только от L и С, но и от активного сопротивления r. При наличии активного сопротивления в цепи и при ω = ω0 для данной цепи b= 0, т.е. резонансная частота является нулем b. Однако влево и вправо от этой частоты реактивная проводимость резко возрастает (штриховая кривая на рис. 3.4). Можно подсчитать, что экстремумы b(ω) наступают при  и равны, соответственно, –b1 = b2 = 1/(2r), при этом ω2–ω1 = ω0d.

Частотная характеристика I(ω) при U= const, r = const, L = const и С = const выражается формулой:

                                                (3.11)

и изображается кривой, представленной на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Частотные характеристики: I(ω) при U=const,
r =const, L=const и С=const; UC(ω); UL(ω)

На рисунке также приведены частотные характеристики  и . При ω = 0 будет I = 0, так как конденсатор не пропускает постоянный ток и, соответственно, все приложенное напряжение приходится на зажимы конденсатора (UC=U). При  имеем I = 0, так как сопротивление катушки бесконечно и, соответственно, все напряжение падает на зажимы катушки (UL = UC). При частоте резонанса ω=ω0 имеем UL = UC, итак как напряжения на катушке и на конденсаторе взаимно компенсируются, то все напряжение приходится на участок с сопротивлением r(Ur= Ir = U). Диаграмма на рисунке приведена для случая d < 1, вследствие чего при частоте резонанса UC= UL > U. Максимум UCнаступает при частоте, меньшей ω0, т.е. раньше максимума I, так как для получения величины UCнеобходимо умножить ток Iна убывающую величину 1/(ωС). Максимум же UL достигается при частоте, превышающей ω0, т.е. позже максимума I, так как для получения величины ULнеобходимо умножить ток на возрастающую величину ωL.

Кривые, выражающие зависимость величин I, UL и UC от частоты, дающие графическое изображение частотных характеристик цепи, называют также резонансными кривыми.

Резонансными кривыми называют также зависимости этих величин от изменяющейся индуктивности или от изменяющейся емкости при неизменной частоте.

Рассмотрим зависимость от относительной частоты относительного значения тока I/I0, где I0=U/r, и  - ток и частота  при резонансе. Имеем

Таким образом, частотная характеристика  зависит только от затухания d. Для определения d примем . Получаем . Положительные корни уравнения равны , следовательно, . Отсюда и из рис. 3.6 видно, что чем больше затухание контура, тем более широкой оказывается резонансная кривая , и наоборот, эта кривая тем более узкая, чем меньше затухание.

Рис. 3.6. Зависимость относительного значения тока от относительной частоты

Принято условно говорить, что цепь пропускает частоты, при которых, т.е. когда мощность I2r, поглощаемая цепью, больше половины максимальной мощности  пpи резонансе. Соответственно, будем говорить, что цепь не пропускает частот, для которых , т.е. . В этом смысле можно ввести понятие полосы пропускания

                                                          (3.12)

как диапазона частот, для которых имеет место условие .

Назовем расстройкой контура по частоте величину  и относительной расстройкой - величину . При этом

При больших значениях добротности ток резко спадает при небольших отклонениях  от единицы. Если , то приближенно можно считать

и тогда

Величину  назовем обобщенной расстройкой контура.

Таким образом, через обобщенную расстройку можно записать:

На границах полосы пропускания обобщенная расстройка равна единице, а .