Частотные характеристики цепей в общем случае

Полученные частотные характеристики цепей L, С без потерь могут быть использованы для выяснения характера частотных характеристик реальных электрических цепей при наличии активных сопротивлений. При резонансе токов в случае g≠ 0 реактивное сопротивление контура равно нулю, а не бесконечности, как при g= 0. Поэтому вид частотных характеристик вблизи резонансных частот, при которых наступает резонанс токов, будет существенно отличаться от вида этих характеристик для случая g= 0. Активное сопротивление всей цепи в общем случае оказывается функцией частоты. Все эти обстоятельства осложняют исследование частотных зависимостей. Характер зависимости z, r, х от ω при наличии конечного активного сопротивления при большой добротности элементов цепи показан на рис. 3.19.

При этом можно под добротностью катушек при резонансной частоте ω0 понимать отношение индуктивного сопротивления к ее активному сопротивлению, т.е. QL= ω0L/rL.


Соответственно, под добротностью конденсатора при частоте ω0 можно понимать отношение его емкостного сопротивления к его активному сопротивлению, т.е. QС= 1/( ω0CrC).

Общий метод определения резонансных частот остается и в этом случае тем же - необходимо написать выражение для комплексного сопротивления или комплексной проводимости цепи, выделить в них мнимую часть и приравнять к нулю коэффициент при j. Решая эти уравнения, определяем резонансные частоты цепи. Частотные характеристики z(ω), φ(ω), r(ω), х(ω), g(ω), b(ω), y(ω) для заданной цепи взаимосвязаны, и в некоторых случаях достаточно знать лишь одну из перечисленных характеристик, чтобы можно было определить остальные.

Рис. 3.19. Характер зависимости z, r, х от ω при наличии конечного активного
сопротивления при большой добротности элементов цепи

Рассмотрим резонансные явления в цепи, изображенной на рис. 3.20.

Рис. 3.20. Схема реальной цепи при наличии активных сопротивлений

Комплексная проводимость этой цепи имеет выражение

Условием резонанса будет b= 0, откуда найдем

                                             (3.21)

Представляет интерес частный случай, когда . Разделим числитель и знаменатель первого члена в выражении для bна ω2LC. Заметив, что  получим

При любом значении частоты ω реактивная проводимость равна нулю, т.е. резонанс в цепи имеет место при любой частоте. Нетрудно убедиться, что при этом сопротивление всей цепи остается при всех частотах неизменным и равным r.

При напряжении на зажимах цепи ток  в катушке равен , а ток  в конденсаторе и напряжение  на нем равны

  и 

При  имеем

и

Следовательно, , и ток в катушке совпадает по фазе с напряжением на конденсаторе, т.е. энергия в катушке и энергия в конденсаторе одновременно достигают максимума и одновременно убывают до нуля. Таким образом, в рассматриваемой цепи при резонансе совсем не совершается обмена энергией между катушкой и конденсатором, а в течение части периода происходит поступление энергии из внешнего источника одновременно в электрическое поле конденсатора и в магнитное поле катушки, а также на выделение теплоты в элементах с сопротивлениями r1 и r2. В другую часть периода энергия, возвращаясь одновременно из конденсатора и из катушки, преобразуется в теплоту в элементах с сопротивлениями r1 и r2. В то же время энергия продолжает поступать из внешнего источника, причем она также поглощается в виде теплоты в элементах с сопротивлениями r1 и r2.

Из этого примера видно, что энергетические процессы при резонансе в сложных цепях протекают значительно сложнее, чем это было в простых цепях с последовательным  или  параллельным соединением участков.

Весьма важным является случай, когда в цепи, изображенной на рис. 3.20, можно принять r2 = 0. Это весьма часто встречается в колебательных контурах в радиотехнических устройствах, так как потерями в конденсаторе можно пренебречь по сравнению с активной мощностью в ветви с катушкой.

Из условия b= 0 для резонансной частоты получаем .

Сопротивление всей цепи при этой частоте оказывается равным

                                        (3.22)

Последней формулой (3.22) обычно пользуются для расчета сопротивления такого контура. При большой добротности Q эквивалентное сопротивление контура значительно превосходит его волновое сопротивление .

Рассматриваемая цепь при  обладает свойством постоянства активной проводимости, и в ней отсутствует реактивная проводимость при всех частотах, в то время как каждая ветвь этой цепи имеет величины g1(ω), g2(ω) и b1(ω) и b2(ω), зависящие от частоты. При данных условиях эти ветви можно называть взаимно дополняющими друг друга цепями.

Нетрудно заметить, что дополняющей цепью для цепи с параллельно соединенными участками r и С (рис. 3.21) будет включенная с ней последовательно цепь с параллельно соединенными участками r, L, если обеспечить условие .

Рис. 3.21. Цепь с параллельно соединенными участками r , C и дополняющая ее цепь
с параллельно соединенными участками r, L

При этом суммарное сопротивление цепи будет активным, неизменным и равным r на всех частотах. Действительно, свойства всей цепи, изображенной на рис. 3.21, должны быть аналогичными свойствам рассмотренной нами цепи, изображенной на рис. 3.20, так как эти цепи дуальны, что хорошо видно из рис. 3.22.

Рис. 3.22. Дуальные цепи

Взаимно дополняющие цепи могут быть использованы для обеспечения неизменности выходного или входного сопротивлений. Для этой цели к заданной цепи необходимо присоединить дополняющую ее цепь.