Частотные характеристики цепей, содержащей только реактивные элементы

Рассмотрим связь между током и ЭДС на входе пассивного двухполюсника, состоящего только из реактивных элементов. Полагая в выражении для , полученном по методу контурных токов,  и , где  и  - соответственно, входной ток и входная ЭДС, имеем

т.е.

  и 

Здесь  - определитель nуравнений цепи, записанных по методу контурных токов, имеющий nстрок и nстолбцов;  - его алгебраическое дополнение, имеющее (n-1) строк и (n-1) столбцов. В каждом элементе  и  содержатся величины вида

-

и

т.е. во всех них содержится множитель j/ω при вещественных величинах. Имея в виду это обстоятельство, можем записать

или

где и  вещественны. Элементы, входящие в  и  имеют вид  и

Раскрывая  и  и группируя в них члены с одинаковой степенью ω, получим в числителе и знаменателе полиномы вида

Если найти корни полинома числителя  и корни полинома знаменателя , приравнивая соответствующие полиномы к нулю, то можно записать также

В цепи, содержащей только реактивные элементы, угол сдвига между напряжением и током может принимать только значения . При резонансе в таких цепях φ = 0, и поэтому скачкообразное изменение φ от  до  или от  до  может происходить только в моменты резонанса в цепи.

Таким образом, зависимость φ(ω) должна иметь вид, показанный на  рис. 3.13.

Рис. 3.13. Угол сдвига между напряжением и током в цепи,
содержащей только реактивные элементы

В точках резонанса хвх = 0 или хвх = , т.е. для хвх имеем нуль или полюс, аналогично резонансу напряжений или резонансу токов в простейших цепях.

Для чисто реактивных цепей х(ω) всегда возрастает с ростом ω, т.е.

В таком случае полюсы и нули функции хвх могут только чередоваться.

Действительно, величина хвх, увеличиваясь от  (полюс функции), все время растет, проходит через нуль (нуль функции) и, возрастая все время дальше, достигнет значения  (полюс функции). При переходе частоты через полюс хвх меняет знак, и процесс повторяется.

Если корни числителя и знаменателя ω1, ω2, ... расположить по мере возрастания их значений, то можно заметить, что вследствие чередования нулей и полюсов имеем

0<ω1< ω2< ω3<… <ω2n-1.

Из выражения для хвх видно, что полиномы числителя и знаменателя имеют члены, степень ω в которых уменьшается на две единицы и, кроме того, разница в максимальных степенях числителя и знаменателя не превышает единицы. Если все коэффициенты не равны нулю, то степень числителя на единицу выше степени знаменателя. Может оказаться, что а2n= 0, но b2n-2 ≠ 0; тогда степень числителя на единицу ниже степени знаменателя. То, что могут существовать только такие варианты, можно понять из следующих соображений. Когда частота ω  стремится к бесконечности, сопротивление всех катушек также стремится к бесконечности, а сопротивления всех конденсаторов стремятся к нулю. В зависимости от структуры схемы результат будет тот или иной, а именно: если на пути от одного входного зажима к другому имеется хоть одна цепочка ветвей, состоящая только из конденсаторов, то хвх  при ω  (рис. 3.14 и 3.15).

Рис. 3.14. Зависимость x(ω) в случае, если на пути от одного входного зажима
к другому имеется хоть одна цепочка ветвей, состоящая только из конденсаторов

Рис. 3.15. Зависимость x(ω) в случае, если на пути от одного входного зажима
к другому имеется хоть одна цепочка ветвей, состоящая только из конденсаторов

Наличие катушек не играет при этом роли, так как их сопротивление стремится к бесконечности. Следовательно, хвх стремится к нулю пропорционально 1/ω, т.е. в пределе цепь будет вести себя как емкостное сопротивление. Если в цепи нет такой цепочки конденсаторов и по любому пути от одного зажима к другому встретится хотя бы одна катушка (рис. 3.16 и 3.17), то конденсаторы при ω не играют никакой роли, так как сопротивление цепи будет полностью определяться сопротивлением катушки, стремящимся к бесконечности.

Рис. 3.16. Зависимость x(ω) в случае, если на пути от одного входного зажима
к другому не имеется цепочки ветвей, состоящая только из конденсаторов,
но по любому пути встретится хотя бы одна катушка

Рис. 3.17. Зависимость x(ω) в случае, если на пути от одного входного зажима
к другому не имеется цепочки ветвей, состоящей только из конденсаторов,
но по любому пути встретится хотя бы одна катушка

Следовательно, при этом хвх стремится к бесконечности пропорционально ω, т.е. в пределе цепь будет вести себя как индуктивное сопротивление. Так как в числителе и знаменателе при
ωостаются только члены с высшей степенью ω, то рассмотренные предельные случаи подтверждают сделанное выше заключение о том, что наибольшие степени числителя и знаменателя могут различаться в ту или иную сторону только на единицу.

Приведенные свойства входного реактивного сопротивления цепей, состоящих из чисто реактивных элементов, помогают правильно строить частотные характеристики таких цепей. Примеры частотных характеристик, где показаны все четыре возможных варианта расположения нулей и полюсов при ω = 0 и ω = , приведены на рис. 3.14–3.17.

Имея частотные характеристики х(ω) или b(ω) отдельных участков цепей, можно графически суммировать х(ω) ветвей и участков цепи, соединенных последовательно, и b(ω) ветвей и участков цепи, соединенных параллельно. Пример такого графического построения показан на рис. 3.18 для схемы, приведенной на рис. 3.14.

Рис. 3.18. Графическое суммирование х(ω) ветвей и участков
цепи, соединенных последовательно