Баланс мощностей в сложной цепи

Баланс мощностей в приемниках и источниках энергии электрической цепи доказывается теоремой Ланжевена. Эта теорема решает вопрос о равенстве суммы реактивных мощностей всех источников энергии, имеющихся в сколь угодно сложной электрической цепи, сумме реактивных мощностей приемников в этой цепи. Попутно решается и вопрос о равенстве соответствующих активных мощностей, которое вытекает непосредственно из закона сохранения энергии.

Для любой цепи при записи уравнений по методу узловых напряжений имеем:

Перемножая матрицу проводимости на матрицу-столбец узловых напряжений, получим выражение, в котором каждый элемент матрицы-столбца слева от знака равенства представляет собой сумму токов в ветвях (в приемниках), сходящихся к узлу, номер которого соответствует первому индексу у тока. Каждый элемент в матрице справа есть сумма токов соответствующих источников тока:

Помножим эти матрицы на транспонированную матрицу сопряженных комплексных узловых напряжений. Имеем:

После выполнения операции перемножения получим слева и справа члены вида

  и 

Учитывая, что  и имеем

Произведение  есть комплексная мощность приемника, подключенного между узлами  и . Произведение  есть комплексная мощность источника, также подключенного к узлам  и .

Таким образом, приходим к выводу, что

  или    и 

где  и  - сумма активных и сумма реактивных мощностей всех источников энергии, имеющихся в цепи, а и  - сумма активных и сумма реактивных мощностей всех приемников. Последние два равенства и выражают теорему Ланжевена.

Для каждого приемника справедливы соотношения:

    и   

Поэтому для комплексной мощности всей цепи справедливо соотношение:

                                    (2.59)

Сумма комплексных мощностей, отдаваемых всеми идеализированными активными элементами, равна сумме комплексных мощностей всех идеализированных пассивных элементов.

Для практических расчетов электрических цепей условие баланса мощностей удобно представить в следующем виде:

                                             (2.60)

Левая часть уравнения (2.60) представляет собой алгебраическую сумму комплексных мощностей, отдаваемых всеми активными элементами. Слагаемое  есть произведение комплексного действующего значения ЭДС источника напряжения на комплексно–сопряженный ток этого источника; слагаемое  равно произведению комплексного напряжения на источнике тока на комплексно–сопряженный ток этого источника. Слагаемые, стоящие в левой части выражения (2.60), берут со знаком плюс, если направления токов и напряжений источников выбраны в соответствии с рис.2.32.

Рис. 2.32. К определению знака комплексной мощности,
отдаваемой источниками напряжения (а) и тока (б)

В противном случае эти слагаемые берут со знаком минус. Правая часть уравнения 2.60 есть сумма комплексных мощностей всех идеализированных пассивных элементов, причем каждое слагаемое вида  равно произведению квадрата действующего значения тока k-го идеализированного пассивного элемента на его комплексное сопротивление. Из условия баланса комплексных мощностей следуют условия баланса активных и реактивных мощностей: активная мощность, отдаваемая всеми источниками, равна активной мощности всех потребителей:

;

реактивная мощность всех источников равна реактивной мощности всех потребителей:

,

где rk, xk – вещественная и мнимая составляющие комплексного сопротивления k-го элемента.

Пример 2.5. Определить комплексный ток последовательной RL–цепи (рис. 2.33) с параметрами элементов R= 8 кОм, L= 4 мГн, к зажимам которой подключен источник ЭДС , и проверить выполнение условия баланса мощностей.

Рис. 2.33. Схема последовательной RL-цепи

Находим комплексное входное сопротивление цепи

кОм.

Используя закон Ома в комплексной форме, определяем комплексный ток в цепи

 А.

Комплексная мощность, отдаваемая источником напряжения,

 В.А.

Комплексная мощность, потребляемая сопротивлением и индуктивностью,

 В.А.

Таким образом, комплексная мощность, отдаваемая источником напряжения, равна комплексной мощности, потребляемой сопротивлением и индуктивностью. Условие баланса комплексных мощностей выполнено.

Будет полезно почитать по теме: