Закон гидростатического давления

Закон гидростатического давления является основным законом гидростатикии для жидкости, находящейся в абсолютном покое, формулируется следующим образом: гидростатическое давление в любой точке жидкости равно сумме поверхностного давления и давления столба жидкости над этой точкой.

Для доказательства этого закона выделим в некотором сосуде точку А, расположенную на глубине h (рис.4.1) и заключенную в цилиндре с основанием dS. Мысленно отбросим жидкость, расположенную вокруг выделенного объема, и приложим к нему все действующие силы.

Рис. 4.1. К определению давления в какой-либо точке жидкости

Этими силами являются:

сила поверхностного давления P0 = podS;

сила гидростатического давления, действующая на площадку dS, расположенную вокруг точки А, P = pdS;

сила тяжести G = gm.

Запишем условие равновесия выделенного объема жидкости относительно оси Y

P0- P + G= 0

или                 

podS - pdS+ rghdS= 0.

Разделив это уравнение на dS и преобразовав его, получим

 p= p0+ rgh. (4.1)

Уравнение (4.1) называютосновным уравнением гидростатики, по нему можно подсчитать давление в любой точке покоящейся жидкости, которое, складывается из двух величин:

давления на внешней поверхности жидкости po;

давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости  rgh, где h – глубина расположения рассматриваемой точки в сосуде, т.е. вертикальное расстояние от свободной поверхности жидкости до рассматриваемой точки.

Если записать уравнение (4.1) для двух точек жидкости 1 и 2, расположенных на различной глубине:

p1= p0+ rgh1;

p2 = p0 + rgh2,

то после совместного их решения можно найти, что

p2= p1+ rg(h2 - h1),

или

 p2 = p1+ rgh12,  (4.2)

где h12=h2-h1 – вертикальное расстояние между рассматриваемыми точками.

Из анализа выражения (4.2) следует, что для определения в какой-нибудь точке жидкости необходимо знать давление в другой, любой точке жидкости этого же объема, а также вертикальное расстояние между этими точками. Уравнение (4.2) по сравнению с уравнением (4.1) является более общим, ибо, приняв, что точка 1 лежит на свободной поверхности, из уравнения (4.2) легко получаем уравнение (4.1).

Из уравнения (4.2) находим, что

h12= (p2- p1)/rg. (4.3)

Так как любое давление в жидкости можно всегда представить как разность двух любых давлений (например, избыточного, атмосферного и др.; эти вопросы будут рассмотрены более подробно в следующих разделах пособия), то согласно уравнению (4.3), эти давления могут измеряться высотой столба жидкости.