Расчет цилиндрических передач на прочность

Приведенная в этом параграфе методика расчета эвольвентных зубчатых передач в основном соответствует стандарту, но содержит некоторые упрощения, которые не оказывают существенного влияния на результаты расчетов и необходимы с точки зрения учебного процесса.

Расчет зубьев на контактную усталость.Контакт двух зубьев цилиндрических зубчатых колес рассматривается как контакт по образующим двух цилиндров и, следовательно, является линейным контактом. Наибольшие контактные напряжения (рис. 2.10) возникают при сопри­косновении зубьев в полюсе (в зоне однопарного зацепления прямозубых передач).

Рис. 2.10. Схема зубьев для расчета контактных напряжений

Максимальные контактные напряжения при линейном контакте определяются по формуле Герца, которая для стальных колес с коэффициентом Пуассона v= 0,3 будет иметь вид

σН= 0,418,

где qнормальная нагрузка на единицу длины контактных линий (для прямозубых передач длина контактной линии равна рабочей ширине венца); Епрприведенный модуль упругости материалов колес; ρпр – приведенный радиус кривизны зубьев.

Из свойств эвольвенты мы знаем, что центры ее кривизны лежат на основной окружности (см. рис.1.53 и 1.54), следовательно, для пары зубьев (рис.2.10) радиусы кривизны зубьев в точке касания будут

ρ1 = 0,5d1sinα;

ρ2 = 0,5d2sinα.

Если колеса косозубые, то радиусы кривизны зубьев определяются по размерам эквивалентныхколес, следовательно:

ρ1= 0,5d1 sin α/cos2 β;

ρ2= 0,5d2 sin α/cos2 β.

Тогда, учитывая, что d2=d1u, где и – передаточное число, получим

Нормальная нагрузка qна единицу длины контактных линий для косозубых колес с учетом неравномерности и динамичности нагрузки равна q= FnKHβKHυ/lΣ= = wHt/(εαcos α) (так как сила нормального давления Fn= Ft/(cos αcos β), суммарная длина контактных линий lΣ= εαb/cos β), a

wHt= FtKHβKHυ/b.

Подставляя полученные выражения 1/ρпр и qв формулу Герца и заменяя произведение sin αcos αна 0,5 sin 2α, получим

Введем обозначение Z= 0,418 – коэффициент, учитывающий геометрию передачи, свойства материала и коэффициент торцового перекрытия. В результате по условию нагрузочной способности σH≤ [σH] получаем формулу для проверочного расчетана контактную усталость активных поверхностей зубьев стальных цилиндрических колес:

где [σH] – допускаемое контактное напряжение; Z= 462 · 103 Па1/2 для прямозубых передач; Z≈ 376-103 Па1/2 для косозубых и шевронных передач.

Так как wHt= FtKHβKHυ/b= 2T1KHβKHυ/(bd1),то окончательно имеем

При выводе формулы для проектного расчета необходимо уменьшить количество неизвестных величин, что достигается введением коэффициента ширины венца относительно диаметра ψbd= b2/d1.Тогда

Приравняв контактное напряжение σHдопускаемому [σH], учитывая, что Т1= Т2/u,получим формулу для проектного расчета:

где

При проектном расчете можно определять межосевое расстояние а,для чего вводится коэффициент ширины колеса по межосевому расстоянию ψbа=b2/а и учитывается, что d1 = 2а/(и +1).После преобразования получим формулу

где

Для предварительных расчетов прямозубых передач принимают

КНβ≈ 1,3, Кd= 7700 Па1/3, Ка = 4950 Па1/3.

Нагрузочная способность косозубых и шевронных колес выше, чем прямозубых, поэтому для них рекомендуются следующие значения коэффициентов:

КНβ≈ 1,2, Кd= 6750 Па1/3, Ка = 4300 Па1/3.

Значения ψbdвыбираются по табл.2.1, после чего ψbaопределяется по формуле

ψba= 2 ψbd/(u+ 1).

Таблица 2.1

Коэффициент ψbdдля различного расположения колёс

Расположение колеса относительно опор

Твердость рабочих поверхностей зубьев

Н2≤ 350 НВ или

Н1и Н2 ≤ 350НВ

Н1и Н2 >350НВ

ψbd

Симметричное

Несимметричное

Консольное

0,8...1,4

0,6...1,2

0,3...0,4

0,4...1,0

0,3...0,5

0,2...0,25

Большие значения – для постоянных нагрузок и жестких конструкций опор и валов.

После определения межосевого расстояния а из эмпирических соотношений определяют модуль и округляют его значение до стандартного.

При твердости рабочих поверхностей зубьев шестерни и колеса Н1 и Н2 ≤350 НВ принимают т=(0,01...0,02)а, при твердости зубьев шестерни Н1>45НRСэ и колеса Н2 < 350 НВ принимают т = (0,0125...0,025)а, при твердости зубьев шестерни и колеса Н1 и Н2 45 HRCэпринимают т = (0,016...0,0315)а.

Для обеспечения равной контактной и изгибной прочности зубьев ориентировочное значение модуля при заданном межосевом расстоянии можно вычислить по формуле

где Ктавспомогательный коэффициент (для прямозубых передач Кта = 1,4; для косозубых при εβ < 1 Kma= 1,1; для косозубых при εβ > 1 и шевронных передач Кта= 0,85); YF1– коэффициентформы зуба шестерни, определяемый по табл. 2.2; [σF1] – допускаемое напряжение изгиба для шестерни.

Таблица 2.2

Коэффициент формы зуба

z1, zυ

17

20

25

30

40

50

60

И более

YF

4,26

4,09

3,90

3,80

3,70

3,66

3,62

3,60

Основные параметры(межосевые расстояния а,номинальные передаточные числа и,коэффициенты ширины колес ψba)цилиндрических передач для редуктороврегламентированы ГОСТ 2185–66 (табл.2.3 и 2.4).

Таблица 2.3

Номинальные передаточные отношения

Передаточные числа

1-й ряд 2-й ряд

1,0

1,12

1,25

1,4

1,6

1,8

2,0

2,24

2,5

2,8

 

1-й ряд 2-й ряд

3,15

3,55

4,0

4,5

5,0

5,6

6,3

7,1

8,0

9,0

И т.д. до 12,5

Таблица 2.4

Межосевые расстояния, регламентированные ГОСТом

Межосевое расстояние а,мм

1-й ряд

2-й ряд

40

50

63

80

100

125

160

200

140

180

1-й ряд

2-й ряд

225

250

315

400

500

630

280

355

450

560

 

 

 

 

 

 

 

 

И т.д. до

 

 

 

 

 

 

 

 

2500

Примечание. В табл. 2.3 и 2.4 первый ряд следует предпочитать второму.

Стандартные значения ψba: 0,1; 0,125; 0,16; 0,2; 0.25; 0,315; 0,4; 0,5; 0,63; 0,8; 1,0; 1,25.

Учитывая возможное осевое смещение зубчатых колес при сборке передачи, ширину венца шестерни принимают на несколько миллиметров большей, чем ширину венца колеса.

Расчет зубьев на усталость при изгибе.С точки зрения прочности зубьев на изгиб, наиболее опасен момент, когда зуб входит в зацепление или выходит из него, а сила нормального давления приложена к вершине зуба (рис. 2.11). При расчетах на изгиб зуб рассматривается как консольная балка, жестко защемленная одним концом, для которой справедлива гипотеза плоских сечений. Кроме того, полагаем, что вся нагрузка Fnвоспринимается только одним зубом, и пренебрегаем силами трения, что дает возможность считать силу Fnнаправленной по общей нормали к профилям соприкасающихся зубьев. Так как зуб своей вершиной входит в зацепление не на межосевой линии, то угол, который составляет линия давления с перпендикуляром к оси симметрии зуба, будет немного больше угла зацепления, но этой разницей пренебрегаем и полагаем, что α' = α.

Перенесем силу Fnна ось симметрии зуба и разложим ее на две взаимно перпендикулярные составляющие Ft'и Fn' одна из которых будет изгибать зуб, а вторая – сжимать.

Из практики известно, что усталостные трещины возникают у основания зуба в зоне растянутых волокон. Это происходит потому, что основание зуба является местом, где возникают наибольшие напряжения изгиба и концентрация напряжений, последнее будем учитывать, вводя в расчеты теоретический коэффициент концентрации напряжений Kт.

Напряжениями сжатия (сравнительно небольшими) будем пренебрегать, так как на растянутой стороне зуба (где возникают усталостные трещины) суммарные напряжения равны разности напряжений изгиба и сжатия, следовательно, расчет только по напряжениям изгиба даст некоторое увеличение запаса прочности.

Рис. 2.11. Схема расчета зубьев на изгиб

Напряжения изгиба σFв опасном сечении 1–1 (рис.2.11) зуба прямозубого колеса вычисляются по следующей формуле:

Заменим силу Ft'окружной силой Ft=2T/d(такая замена даст в расчетах отклонение в сторону увеличения запаса прочности, так как Ft> Ft')и введем в расчет теоретический коэффициент концентрации напряжений Кτ,коэффициент неравномерности нагрузки KFβи коэффициент динамичности нагрузки KFυ,тогда условие прочности прямого зуба на изгиб будет иметь вид

где [σF]допускаемое напряжение на изгиб.

Размеры lи sвыразим через модуль зуба, от которого они зависят: l= μm, s= λm,тогда l/s2= μ(λ2m). Подставив это выражение в предыдущую формулу и заменив YF= 6Kтμ/λ2, wFt= FtKKFυ/b,получим формулу для проверочного расчета прямозубых колес

где YFкоэффициент формы зуба, зависящий только от числа зубьев и выбираемый по табл.2.2; параметр wFt= 2T1KKFυ/(d1b).

У косозубых колес длина зуба больше, чем у прямозубых, поэтомув расчетную формулу вводится коэффициент Yβ, учитывающий наклон линии зуба, причем

либо более точно,

где β – угол наклона; εβ – коэффициент осевого перекрытия.

Формула дляпроверочного расчета косозубых колесимеет вид

причем коэффициент формы зуба YFподбирается по табл.2.2 по эквивалентному числу зубьев zυ;тn– нормальный модуль.

Основным видом проектногорасчета закрытых передачснизкой и средней твердостью зубьев является расчет на контактную усталостьактивных поверхностей зубьев, а расчет на усталость зубьев при изгибе применяется как проверочный.

Параметры открытых передач, атакже закрытых с высокой твердостьюактивных поверхностей зубьев(H> 50 HRCэ, их нагрузочная способность лимитируется изгибной прочностью) определяют из расчета зубьев на изгиб, причем основным расчетным параметром является нормальный модуль. Формула для проектного расчетана изгиб имеет вид

где Кm= 1,4 для прямозубых; Кт = 1,12 для косозубых (при εβ > 1) и шевронных передач; для косозубых (при εβ≤ 1) Кт = 1,25 (расчет ведется для шестерни).

Для обеспечения одинаковой долговечности ведущего и ведомого колес шестерню делают из более прочного материала, но прочность зуба также зависит от его формы. Поэтому сравнительную оценку прочности зубьев при изгибе можно провести по отношению [σF]/YFдля ведущего и ведомого колес, а проверочные расчеты ведут по колесу, для которого это отношение меньше.